從材料力學課程到大學生創新訓練的延伸教學★

祝 捷 陳霽月 曹陽陽 王建強 梁書鋒 劉謹嘉

(中國礦業大學(北京)力學與建筑工程學院，北京 100083)

2018年12月，教育部高等教育司司長吳巖在建設中國“金課”的講話中指出，課程對于大學生的影響最為直接，對于人才培養占有不可替代的重要地位，因此課程設置和課堂教學是教學中最普遍、最重要的問題[1]。事實上，課程設置的本質目標是培養學生解決實際問題的能力[2]。近年來，眾多高校對于本科教育的研究性教學進行了探索和實踐[3-5]。其中，中國礦業大學(北京)自2014年起開始實施本科生導師制，對于本科生創新能力的培養方式進行調整[6-11]。

對于力學類、土木類和航天類的學生而言，材料力學課程，兼具基礎性和工程性的特點[12]，是一門理論性強、應用廣泛的專業基礎課程，包含課堂教學和實驗教學兩部分[13]。為了適應教育部對課程高階性、創新性和挑戰度的要求，教師在教學設計中需要重點關注學生知識、能力、素質的綜合性培養，利用互動教學環境訓練學生的思辨能力，采用討論的方式，引導學生挖掘知識點的內涵，提出個性化的問題。本科生圍繞提出的問題，依托大學生創新訓練項目，開展探究式學習。

本文以梁的彈性彎曲問題為例，闡述從材料力學課堂教學、實驗教學到綜合性創新訓練的延伸教學實踐過程，為該類教學模式的發展提供案例支持。

1 課程教學對知識點的思考

1.1 課上對知識點的認識

梁的彎曲變形是材料力學課程中重點討論的問題。其中，詳細闡述了梁在線彈性、小變形范圍內撓曲線方程的推導過程[14]。如圖1所示，由幾何關系和物理關系知，曲率κ與撓度w、彎矩M間分別滿足:

(1)

(2)

其中，ρ為曲率半徑；EI為梁的抗彎剛度。

聯立式(1)，式(2)，得到在平截面假設和假定梁縱向平面之間不因彎曲而相互擠壓的條件下等直梁的撓曲線近似微分方程可表示為：

EIw″=-M(x)

(3)

將式(3)進行積分，代入邊界條件，即可得到梁的撓曲線方程。

(4)

其中，C1,C2均為積分常數與邊界條件有關。在已知荷載條件下，利用式(4)可得到梁的撓曲線。

1.2課后對知識點的思考

為了啟發學生更加深入地思考梁的彎曲變形問題，筆者請學生對如下問題進行思考：如果梁上載荷未知，即無法計算彎矩方程通過式(4)得到梁的撓曲線方程，是否還有其他方法求解。

學生通過梳理幾何方程可知，梁橫截面上的正應變沿梁高度方向分布符合：

(5)

其中，ε為橫截面上距離中性軸為y處的正應變。則由式(5)可知，梁橫截面上任一點處縱向正應變ε與該點至中性軸的距離y成正比，其比例系數即為該截面的曲率。

學生由此可得，荷載未知條件下，通過式(5)表示的應變—曲率關系，可以求解梁的撓曲線方程，僅需將式(5)代入式(1)建立微分方程再積分即可。

2 實驗教學對知識點的再認識

學生根據上述分析可知，在載荷未知條件下要得到梁的撓曲線方程，需要對應變進行測量。利用北京市高等學校實驗教學示范中心的材料力學多功能實驗臺(見圖2a))，學生對梁純彎曲段的應變進行了測量。實驗采用矩形截面等直鋼梁，橫截面高度h=40 mm，寬度b=20 mm，跨度L=350 mm，彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3。該實驗梁的受力簡圖如圖2b)所示。試樣在兩個集中荷載之間形成純彎段，對應彎矩M等于集中荷載值P乘以加載臂長度a。

提出問題：考慮到實驗中矩形截面鋼梁的中性層位于梁的中部，且與梁上下表面平行，在梁同一橫截面內沿梁高平行于中性軸應同時布置兩個應變片。由于不知道中性軸的具體位置，故需要對3種可能存在的應變片與中性軸相對位置(如圖3所示)進行討論。

討論結果：無論應變片與中性軸相對位置如何，均可得到截面曲率為：

(6)

其中，ε1,ε2分別為S1和S2位置上應變片測得的應變數值，其中S2位于S1下方，d為兩個應變片中心的垂直距離。由于純彎曲梁各橫截面曲率相等，因此式(6)即為梁的曲率。

根據x軸向右為正，y軸向下為正，以及縱向線應變的符號規定(拉應變為正，壓應變為負)，可以得到：

(7)

對純彎曲梁，將式(7)進行兩次積分得到：

(8)

實驗時首先校準儀器，固定并測量加載臂長度a，然后對梁進行加載，記錄4組荷載值，并讀取相應的應變片測量值。實驗彎矩和應變數值如表1所示。在假設純彎段兩端的撓度值相等的條件下，學生通過四組重復實驗的應變數據，分別按照式(4)與式(8)計算了梁跨中與集中荷載作用點的撓度變化量wt與wc，兩者對比情況見表1，其相對誤差為RE。

表1 梁的最大計算撓度與理論值對比

由表1可知，基于應變測量得到的梁跨中相對集中荷載作用點的撓度變化量與式(4)得到的理論值的相對誤差基本上控制在5%范圍之內，說明了式(8)的有效性。

3 課程教學向創新訓練延伸

通過上述梁彎曲變形問題的研究性教學實踐，學生找到了基于應變測量計算梁撓度的理論依據，加深了梁變形問題的理解。學生對此類問題產生了濃厚的興趣：如果梁因橫向力作用而發生彎曲時，上述依據純彎曲條件推導的梁撓曲線方程，即式(8)，是否會產生誤差。如果誤差過大，是否有減小誤差的方法。學生決定將上述問題延伸到大學生創新訓練項目繼續探究，并邀請老師繼續指導。

為了與實際工程相結合，教師組織學生赴天津市對海門大橋進行了實地調研，此外通過實驗測試和數值模擬等方式進一步探究了梁式結構在荷載未知條件下的撓度計算方法。圖4為本科生實地調研時測量工字型鋼構件的情況。

實際工程中梁常受到均布荷載作用，此時梁的曲率值不再是常數，因此首先需要討論梁的曲率值沿其跨度方向變化時，式(8)的有效性?？紤]到實驗室不具備相關的實驗條件，學生用有限元法通過ABAQUS軟件工字鋼梁，如圖5所示，進行了數值模擬。選取梁的跨度l=5 000 mm，彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3。學生模擬計算了均布荷載和純彎曲兩種條件(如圖6所示)下梁的變形情況。均布荷載條件下，沿全梁縱向布置q=16 kN/m；純彎條件下，集中力偶M=50 kN·m作用在梁的兩端。圖7為荷載作用下梁彎曲變形的數值模擬結果。

表2 擬合計算值與數值模擬結果的對比

由表2可知，純彎條件推導得到的式(8)用于計算同樣加載條件下梁的撓度，誤差較小。對于受均布荷載作用的梁，由于曲率值沿梁的跨度發生變化，式(8)的計算結果誤差增大。學生通過多項式擬合曲率函數的方法可以達到減小誤差的目的?？紤]到選取的擬合多項式具有一定的適用范圍，學生們將后續研究集中到討論擬合多項式的形式上。

4 結語

本文以梁的彎曲問題為例，闡述了教師從課堂教學出發，利用實驗教學和大學生創新訓練項目，引導學生對問題進行持續性的主動思考、分析解決問題的過程。教師立足于教材或實驗教學內容的延伸和擴展，把一些看似普通，但是有深度或有工程應用價值的概念和原理提煉出來，引導學生進行深入地分析和理解，在教師引導下，學生首先解答老師提出的問題，然后自己提出新的問題，再依托大學生創新訓練項目，進一步探究問題的答案。實踐證明，密切聯系重點教學內容，采用課內知識與課外思考相結合、理論推導和實驗分析相結合、基本原理和工程實際、課程教學和創新訓練相結合的延伸教學方法有利于激發學生的主動思考和學習興趣，這為相關教學模式的延伸與發展提供了參考。