三對(duì)角矩陣加箭形矩陣約束四元數(shù)矩陣方程AXA*=B 問題研究

吳恒飛，張宗標(biāo)

（亳州學(xué)院 電子與信息工程系，安徽 亳州 236800）

三對(duì)角對(duì)稱矩陣又稱Jacobi矩陣，該類型的矩陣在科學(xué)領(lǐng)域中具有諸多應(yīng)用，如力學(xué)、工程學(xué)等［1-3］；而箭形矩陣的逆特征值問題源于星形彈簧的振動(dòng)問題［4-5］.矩陣方程是數(shù)值代數(shù)、科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用等領(lǐng)的域重要研究?jī)?nèi)容之一，而矩陣方程：

有著許多實(shí)際的應(yīng)用背景，如振動(dòng)設(shè)計(jì)、信息論和統(tǒng)計(jì)學(xué)等，該方程目前已取得了可喜的研究成果，文獻(xiàn)［6］利用矩陣的標(biāo)準(zhǔn)分解研究了該方程的對(duì)稱反自反最小二乘解，文獻(xiàn)［7］利用奇異值分解，研究了四元數(shù)矩陣方程（1）的Hermitian解，文獻(xiàn)［8］研究了四元數(shù)矩陣方程（1）在約束條件DX=E下的最小二乘解.利用四元數(shù)矩陣的實(shí)分解和Kronecker積，給出四元數(shù)矩陣方程（1）的自共軛三對(duì)角加箭形矩陣解及最佳逼近問題.

表1 符號(hào)說明

定義1形如

的矩陣稱為三對(duì)角加箭形矩陣.若（2）式的元素屬于四元數(shù)集，則稱其為四元數(shù)三對(duì)角加箭形矩陣，用AQn×n表示全體n階四元數(shù)三對(duì)角加箭形矩陣；若A*=A，則稱其為自共軛四元數(shù)三對(duì)角加箭形矩陣；用SAQn×n表示全體n階自共軛四元數(shù)三對(duì)角加箭形矩陣；特別情況下，m=1時(shí)，其為箭形矩陣，m=n時(shí)，其為三對(duì)角矩陣.

任意三對(duì)角加箭形矩陣可由其3n-2個(gè)元素對(duì)應(yīng)確定，對(duì)（2）式，記

其中ei為n階單位矩陣的第i列，容易驗(yàn)證H*H=I3n-2.

引理1A是四元數(shù)三對(duì)角加箭形矩陣的充分必要條件為vec（A）=H·s（A），即

其中s（A），H如（3）式和（4）式所示.

引理2給定矩陣M，N∈Qn×n，則方程MX=N有解的充要條件是MM+N=N，且方程有解時(shí)的通解和無解時(shí)的最小二乘解皆可表示為X=M+N+（I-A+A）Y，其中Y∈Qn×n是任意矩陣［9-10］.

問題Ⅰ已知 A，B∈Qn×n，求 X∈AQn×n（X∈SAQn×n），使 AXA*=B.

問題Ⅱ給定是問題Ⅰ的解集.

1 問題Ⅰ的解

設(shè) A，B∈Qn×n，對(duì) A，B 分別進(jìn)行實(shí)分解：A=A0+A1i+A2j+A3k，B=B0+B1i+B2j+B3k，其中 Ai，Bi∈Rn×n（i=0，1，2，3），X=X0+X1i+X2j+X3k，其中 Xi∈Rn×n（i=0，1，2，3）為三對(duì)角加箭形矩陣，將 A，B，X 帶入（1）式得

展開（6）式，對(duì)比等式兩端得如下方程組（7），易知方程組（7）與方程（1）等價(jià).

記

其中

其中 Xi∈Rn×n（i=0，1，2，3）是三對(duì)角加箭形矩陣，再根據(jù)引理 1 得

其中 s（Xi），H 如（3）式、（4）式，結(jié)合（8）至（10）得（7）等價(jià)式為

其中 v∈R（12n-8）×1.

定理1已知矩陣A，B∈Qn×n，方程（1）存在四元數(shù)三對(duì)角加箭形矩陣解的充要條件為且通解表達(dá)式為

其中 v=T︵+L+LT︵Y，Y∈R（12n-8）×1為任意矩陣；vec（Xi）=H·s（Xi）（i=0，1，2，3）；這里 T︵∈R4n2×4（3n-2）、L∈R4n2×1、s（Xi）∈R（3n-2）×1，列矩陣 s（Xi）（i=0，1，2，3）的元素分別取自 v的 1∶（3n-2）、（3n-1）∶（6n-4）、（6n-3）∶（9n-6）和（9n-5）∶（12n-8）行元素.

證明方程（1）有解等價(jià)方程（11）有解，由引理2知，方程（1）有解的充要條件為且有解時(shí)的通解表達(dá)式為 v=T︵+L+LT︵Y，Y∈R（12n-8）×1為任意矩陣，根據(jù)（9）式及（10）式的逆拉直運(yùn)算，得（12）式成立，證畢.

進(jìn)一步討論問題Ⅰ的三對(duì)角加箭形自共軛解，令

其中ei同（4）式，經(jīng)計(jì)算

引理3對(duì)（2）式，記SARn×n（AARn×n）為 全 體 實(shí)（反）對(duì) 稱 三 對(duì) 角 加 箭 形 矩 陣 的 集 合，則A∈SARn×n?vec（A）=H1·s1（A）（A∈AARn×n?vec（A）=H2·s2（A）），其中 H1、H2、s1（A）、s2（A）如（13）、（14）式所示.

對(duì)四元數(shù)矩陣X進(jìn)行實(shí)分解，形如（6）式，若X*=X，則X0T-X1Ti-X2Tj-X3Tk=X0+X1i+X2j+X3k，所以X0是實(shí)對(duì)稱矩陣，Xi=（i=1，2，3）是實(shí)反對(duì)稱矩陣，根據(jù)引理3得

記

結(jié)合（14）至（16）式知，（7）式又可等價(jià)表示為

定理2給定矩陣A，B∈Qn×n，方程（1）有四元數(shù)三對(duì)角加箭形自共軛解且通解表達(dá)式為

證明由（17）式與（1）式的等價(jià)性，再結(jié)合引理2、引理3 知，方程（1）存在四元數(shù)三對(duì)角加箭形自共軛解的充分必要條件為且有解時(shí)的通解表達(dá)式為為任矩陣 .再由（15）、（16）式及矩陣?yán)边\(yùn)算的逆運(yùn)算vec-1（Xi）得（18）式成立，證畢.

2 問題Ⅱ的解

設(shè)問題Ⅰ的解集SE≠?，D∈AQn×n為已知矩陣，對(duì)D 進(jìn)行實(shí)分解，D=D0+D1i+D2j+D3k，Di（i=0，1，2，3）為實(shí)三對(duì)角加箭形矩陣，令

定理3D∈AQn×n為已知矩陣，則存在X︿∈SE，對(duì)任意X∈SE，有可表示為

其中v︿（i=0，1，2，3），s（Xi）∈R（3n-2）×1的元素分別由v︿的1∶（3n-2）、（3n-1）∶（6n-4）、（6n-3）∶（9n-6）和（9n-5）∶（12n-8）行元素構(gòu)成 .

證明由（4）式知H*H=I3n-2，再根據(jù)定理1知，當(dāng)X∈SE時(shí)，有

所以

取 s（Xi）（i=0，1，2，3）分別為 v︿的 1∶（3n-2）、（3n-1）∶（6n-4）、（6n-3）∶（9n-6）和（9n-5）∶（12n-8）行元素，結(jié)合（12）式可得（20）式成立，證畢.

3 數(shù)值算例

據(jù)定理3知，方程（1）對(duì)于給定矩陣D，在問題Ⅰ的解集中存在最佳逼近解，結(jié)合（3）、（19）及（20）式，可得最佳逼近解為

4 結(jié)論

提出了矩陣方程AXA*=B的四元數(shù)三對(duì)角加箭形自共軛解的解決方案.文中給出了對(duì)稱（反對(duì)稱）三對(duì)角加箭形矩陣的新結(jié)構(gòu)，用矩陣的實(shí)分解和矩陣的Kronecker積把方程AXA*=B轉(zhuǎn)化成了無約束的矩陣方程，化解了四元數(shù)矩陣乘法不可交換的問題，得到方程有四元數(shù)三對(duì)角加箭形自共軛解的充要條件和通解表達(dá)式，最后在給定的解集中求出了最佳逼近解，這些結(jié)論為四元數(shù)約束矩陣方程求解問題提供了一定的參考價(jià)值.