不排水條件下抗剪強度空間變化邊坡穩定性分析

杜 靜

（廣西交通職業技術學院建筑工程系，南寧530023）

0 引 言

邊坡穩定性問題是巖土力學三大經典問題之一。對于軟黏土邊坡快速施工工況下，往往需要采用不排水抗剪強度指標進行邊坡穩定性分析。研究表明，在正常固結黏土或弱超固結黏土邊坡中，不排水抗剪強度呈現隨深度線性增加特性［1-2］。然而，在受應力環境、沉積條件、化學因素和埋藏條件等因素的影響，黏土和部分巖土材料的抗剪強度表現出沿橫向的非均質性，尤其是不排水抗剪強度［3-6］。

極限平衡法是最早應用于分析邊坡穩定性的解析方法，其常常假設土體呈均質特性［7-9］，然后自然界中土體呈非均質分布。為此，Gibson 和Morgenstern［10］研究了地表處不排水抗剪強度為零且強度隨深度線性增加的開挖邊坡穩定性。Hunter 和Schuster［11］將以上工作拓展至考慮基巖深度及地表處不排水抗剪強度大于零的情況，研究表明，強度變化梯度對于破壞面的深度具有較大影響。Griffiths 和Yu［12］重新研究了以上問題，研究結果表明，當地表處強度大于零時，以往的研究結果大大低估了安全系數。以上研究僅僅考慮土體強度參數沿深度呈線性變化的情況。對于抗剪強度呈空間變化特性的邊坡穩定性分析而言，往往需要借助數值模擬手段。Hossely 和Leshchinsky［13］對不排水抗剪強度空間變化開挖邊坡進行了有限元分析。朱德勝等［14］基于不排水抗剪強度從零起隨深度線性增加的非平穩隨機場模型，對考慮空間變異性的正常固結黏土邊坡進行了隨機有限元分析。

與傳統的極限平衡法不同，基于塑性理論的極限分析法因其較為嚴謹的理論框架，能夠得出與真實解非常接近的結果［15］。極限分析運動學定理通過構造機動許可的運動場，基于功能平衡方程導出破壞荷載或安全系數的上限解答，因此又被稱為極限分析上限法。該方法最早由Chen［16］應用到邊坡工程中。近十年來，經國內外學者共同努力，取得了豐碩成果［17-21］。極限分析上限法作為一種高效的工具，被不少學者運用于非均質邊坡穩定性分析［22-25］。關于不排水抗剪強度呈空間變化特性的研究尚未見報道。本文基于極限分析上限定理，給出了不排水強度空間變化邊坡穩定系數解答，利用優化程序求得其最優解，并進一步分析了強度空間變化特性對穩定系數及滑動面的影響。

1 空間變化不排水抗剪強度

本文所考慮不排水抗剪強度分布如圖1 所示。以Oc作為坐標原點，從該點出發的豎向與水平向直線分別與坡趾B 點和坡肩C 點相交。引入強度變化傾角i 如圖中所示，沿著以i 為傾角的任一平面，其不排水抗剪強度相同。據此，x-z 坐標系中任一點的不排水抗剪強度可表示為

式中：cuo為Oc點處的不排水抗剪強度；ρ 為不排水抗剪強度隨深度的變化率。

圖1 不排水抗剪強度空間變化示意圖Fig.1 Diagram of spatial varying undrained shear strength

2 邊坡穩定性極限分析

自Chen［16］發表專著以來，極限分析上限定理在邊坡穩定性分析方面取得了長足進展。上限定理表述為：對于任何運動許可的塑形變形機構與，若在速度邊界Γ 上滿足=0，則根據外力做功功率與內能耗散率相等所確定的荷載Ti和Xi，不小于真實極限荷載，即

式中：Ti和Xi分別為作用在機構邊界和內部的外荷載；為與之相對應的應力場為運動許可的虛速度場為與之相對應虛應變速率；V 為所研究機構。

本文計算模型如圖2 所示。假設土體服從相關聯流動法則及Mohr-Cloumb 破壞準則。圖中，邊坡高度為H，坡角為β，滑體AB′BC 以角速度ω繞O 點作剛性轉動，OA 和OB′的極角分別為θ0和θh，破壞面AB′上一點的間斷速度為v，破壞面與坡面交點至坡肩的水平距離為L，基巖深度為DH。β′為與坡底破壞模式相關的變量，當β′=β時，坡底破壞模式退化為坡趾破壞模式。考慮不排水情況，在極限分析中常選用的對數螺旋破壞面退化為圓弧滑動面r（θ）=r0。

利用極限分析上限法研究邊坡穩定問題時，需要計算研究機構上外力功率與內能耗散率。實際情況中，邊坡上往往作用有坡頂超載、建筑物作用力、地下水作用力等，本文中為簡化考慮，忽略了這一部分作用力，僅考慮土重做功功率。由于滑動體作剛性轉動，其內部能量耗散率忽略不計，僅計算滑面上的內能耗散率。

圖2 計算模型示意圖Fig.2 Diagram of the calculation model

直接利用積分計算整個坡體內部土體重力做功功率較為復雜。因此，土重做功功率可由區域AB′O 土體重力做功功率減去區域OAC，OCB′和BB′C土體重力做功功率求得：

滑動面AB′上的內能耗散率可由該面的微分面積r0dθ與黏聚力cu（x，z）與跨該面切向間斷速度v連乘并沿整個滑動面積分得到：

結合圖1 和圖2，可將一點的x，z 坐標表達成關于θ的函數：

將式（10）和式（11）代入式（9）即可得求得內能耗散率Dint的表達式。

定義參數M 將不排水抗剪強度沿豎向的變化率ρ無量綱化：

根據重度增加法的概念［24］，安全系數可定義為

直接利用求導方式獲得穩定系數的最小解答非常復雜且效率較低，需采用最優化方法來確定其最小值。本文利用MATLAB 中內置的序列二次規劃算法，通過fmincon 函數優化θ0，θh和β′這三個變量來得到穩定系數的最小上限解答，限制條件為

3 對 比

Koppula［26］選用圓弧滑動面，利用極限平衡法研究了黏聚力隨深度線性增加的正常固結土坡穩定性，其選取舊金山某水下斜坡工程案例進行研究。該斜坡高度為27 m，坡角為48.8°，浮重度為6 kN/m3，通過現場試驗和室內不固結不排水試驗獲得土體參數：ρ=1.25 kN/m3，cuo=7-8 kPa，計算得到的安全系數Fs范圍為1.05～1.10。

將文本解答退化為i=0 的情況，選取相同參數，對應于cuo=7～8 kPa 的穩定系數N 取值為5.10～5.28，進 一 步 可 得 安 全 系 數 為1.06～1.10，與Koppula的計算結果非常接近，從而驗證了本文方法的合理性。

4 討 論

為了了解不排水抗剪強度空間變化特性對邊坡穩定性的影響，計算并繪制了D=2，M 分別為0.5，1，1.5 和2 時，θ 分別取-12°，-6°，0°，6°和12°時，穩定系數N與坡角β的關系曲線示于圖3。

由圖3 可知，M 值越大，邊坡穩定性隨坡角的變化幅度越小。另外，隨著M 值的增大，邊坡穩定性逐漸提高，邊坡越陡，這一提升比例越大。例如，當場地條件為i=12°，β=90°時，M 從0.5 變化至1，其穩定系數提高了45%。在相同情況下，當β=20°時，穩定系數僅提高25%。此外，傾角i對于邊坡穩定性有較大影響，當坡角和M 較小時，這一影響尤其顯著。例如，當M=0.5，β=20°，i=12°時，穩定系數為13.65，而相同情況下，傾角i=-12°時，穩定系數為7.50，降低了45%。

圖3 穩定系數隨坡角變化圖Fig.3 Diagram of stability number versus slope angle

圖4 示出了β=30°，D=∞情況下參數M 和傾角i 對于臨界滑動面的影響。當傾角i 固定時，M 值越大，則不排水強度沿深度的變化率ρ越小。當ρ較小時，臨界滑動面的深度傾向于加深。此外，給定M 值的情況下，當傾角i 為正時，坡體內的抗剪強度較大，而坡趾前方土體的抗剪強度較小，此時滑動面深度相較于于負值i 的深度更深。如圖4所示，i=12°、M=2 時，滑動面通過坡趾下方，而i=-12°、M=2時破壞模式仍為坡趾破壞。

圖4 臨界滑動面示意圖Fig.4 Diagram of the critical slip surfaces

5 結 論

本文基于極限分析上限定理，研究了不排水抗剪強度沿深度線性增加，且沿水平向呈非均質分布邊坡的穩定性，通過參數分析得出了主要結論如下：

（1）不排水抗剪強度變化傾角i 的改變對邊坡穩定性有較大影響。邊坡穩定系數隨著傾角i的減小而減小，M值越小，這一影響越顯著。

（2）隨著傾角i 的減小，邊坡臨界滑動面深度逐漸加深。M值越大，臨界滑動面越深。