基于LINGO及虛功原理的框架—核心筒結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究

朱杰江 陸佳慧 張 磊

（上海大學(xué)土木工程系，上海200072）

0 引 言

框架-核心筒結(jié)構(gòu)體系是高層建筑常采用的一種結(jié)構(gòu)形式，與框架-剪力墻結(jié)構(gòu)體系一樣，其框架部分可滿足結(jié)構(gòu)的靈活布置以及較大的空間，同時(shí)其筒體結(jié)構(gòu)的抗側(cè)剛度也優(yōu)于一般的框剪結(jié)構(gòu)中的剪力墻。因此高層框架-核心筒能承擔(dān)較大的水平效應(yīng)并在經(jīng)濟(jì)上優(yōu)于框架-剪力墻結(jié)構(gòu)。

在現(xiàn)有的框架-核心筒設(shè)計(jì)中，由于缺乏技術(shù)規(guī)范對(duì)其明確的約束要求，在設(shè)計(jì)中往往會(huì)放大安全系數(shù)以保證結(jié)構(gòu)安全性，從而在經(jīng)濟(jì)合理性上造成了浪費(fèi)。目前對(duì)于框架-核心筒的優(yōu)化研究較少，且目標(biāo)函數(shù)多為結(jié)構(gòu)剛度或地震作用，王全風(fēng)等［1］在已知材料和結(jié)構(gòu)形式的條件下，基于地震荷載對(duì)框剪結(jié)構(gòu)進(jìn)行了剪力墻數(shù)量的優(yōu)化；侯勝利等［2］以結(jié)構(gòu)第一周期最小為目標(biāo)，以構(gòu)件尺寸為變量對(duì)某超高層框架-核心筒結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化；陳躍等以最大層間位移角為目標(biāo)，對(duì)等、變截面框筒結(jié)構(gòu)中加強(qiáng)層的位置進(jìn)行了優(yōu)化［3］。本文將以造價(jià)為目標(biāo)函數(shù)，采用VB 語言和調(diào)用成熟的優(yōu)化軟件LINGO 進(jìn)行編程，對(duì)結(jié)構(gòu)的抗側(cè)力體系進(jìn)行優(yōu)化。

1 框架-核心筒結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

1.1 優(yōu)化變量

構(gòu)件尺寸對(duì)于降低結(jié)構(gòu)造價(jià)具有決定性作用。假設(shè)框架-核心筒結(jié)構(gòu)第k 層標(biāo)準(zhǔn)層，有m 組柱、n 組梁、s 組剪力墻，則優(yōu)化對(duì)象為梁和柱的截面高度與截面寬度、剪力墻的墻厚與墻長。

構(gòu)件材料也是決定最終造價(jià)的關(guān)鍵性因素。每一層附加一個(gè)層混凝土強(qiáng)度等級(jí)的設(shè)計(jì)變量，混凝土強(qiáng)度等級(jí)作為每一樓層的柱和剪力墻的變量，本文提供了C30～C50 的選擇。不對(duì)梁的混凝土強(qiáng)度進(jìn)行優(yōu)化是因?yàn)閷?duì)于采用現(xiàn)澆樓板的結(jié)構(gòu)，為便于施工，梁的混凝土強(qiáng)度等級(jí)一般與樓板的混凝土強(qiáng)度等級(jí)相同。為避免因混凝土強(qiáng)度過高而增加樓板因溫度變化和收縮引起裂縫的可能性，故《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（JGJ 3—2010）第3.2.2條第7款規(guī)定“現(xiàn)澆非預(yù)應(yīng)力混凝土樓蓋結(jié)構(gòu)的混凝土強(qiáng)度等級(jí)不宜高于C40”。構(gòu)件的配筋是關(guān)于構(gòu)件截面尺寸的函數(shù)，因此最終的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量仍是截面尺寸。

綜上，對(duì)于樓層k，共有設(shè)計(jì)變量總數(shù)為2m+2n+2s+1個(gè)。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

本文的目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)豎向總造價(jià)，即為所有豎向構(gòu)件造價(jià)之和。

（1）單根梁造價(jià)由混凝土、縱筋、箍筋、模板構(gòu)成，其表達(dá)式為

式中：bi，hi為構(gòu)件截面寬與高；Cc為混凝土單位體積價(jià)格；Cm為模板單位面積價(jià)格；li為構(gòu)件長度；ρs為鋼筋密度；Cs為鋼筋單位重量價(jià)格；As為上下架立筋面積之和；As1、As2為梁端支座縱筋面積；Asv為箍筋面積；lsv為箍筋長度；n為箍筋根數(shù)。

（2）單根柱的造價(jià)由混凝土、縱筋、箍筋、模板構(gòu)成，其表達(dá)式為

式中：c 為混凝土保護(hù)層厚度；lsv為柱的內(nèi)部箍筋長度。

（3）單片墻的造價(jià)主要由混凝土、縱筋、箍筋、拉筋、模板構(gòu)成，其表達(dá)式為

式中，Vsv，Vl分別為箍筋和拉筋體積。

則總的表達(dá)式為

式中，nb、nc、nw 分別為結(jié)構(gòu)中框架主梁、框架柱、剪力墻的總數(shù)。

1.3 約束條件

構(gòu)件約束條件依據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》等規(guī)范［4-5］列出，主要包括強(qiáng)度約束、剛度約束和構(gòu)件的構(gòu)造約束等，在其中篩選出主要控制因素。其中，強(qiáng)度約束用以梁、柱的配筋計(jì)算，而剪力墻依據(jù)規(guī)范要求進(jìn)行構(gòu)造配筋。

1.3.1 強(qiáng)度約束

框架梁柱的強(qiáng)度約束條件為

式中：M、V 為截面承受的彎矩和剪力；Mu、Vu為截面最大彎矩設(shè)計(jì)值、剪力設(shè)計(jì)值。

1.3.2 剛度約束

框架-核心筒結(jié)構(gòu)最大層間位移角約束條件：

式中，δi為第i層層間相對(duì)位移；hi為第i層層高。

1.3.3 構(gòu)造約束條件

梁的主要約束條件有截面受壓區(qū)高度約束、截面高寬比約束、受剪截面約束、連梁約束和支座與跨中的最小配筋率約束。

柱的主要約束條件有軸壓比約束、截面高寬比約束、受剪截面約束、最小及最大配筋率約束和加密區(qū)箍筋構(gòu)造要求。

墻的主要約束條件有軸壓比約束、受剪截面約束和構(gòu)造配筋要求。

1.3.4 層間約束條件（自下而上）

（1）本標(biāo)準(zhǔn)層的混凝土等級(jí)不小于上一標(biāo)準(zhǔn)層的混凝土等級(jí)，且相差不超過兩級(jí)；

（2）本標(biāo)準(zhǔn)層豎向構(gòu)件尺寸不小于上一標(biāo)準(zhǔn)層相連豎向構(gòu)件的尺寸；

（3）平面上同一位置的框架柱截面尺寸b、h不小于上一層柱截面尺寸；

（4）平面上同一位置的剪力墻墻厚IB 不小于上一層墻厚，墻長在豎向上是相同的。

2 程序優(yōu)化流程及原理

2.1 優(yōu)化流程及所需軟件

本文用ETABS 進(jìn)行初始三維有限元模型的建立，進(jìn)行內(nèi)力分析；然后使用VB 語言編寫前處理模塊，利用ETABS API接口獲取模型構(gòu)件信息，完成規(guī)范所需要的內(nèi)力調(diào)整；將構(gòu)件信息、內(nèi)力設(shè)計(jì)值及虛功等信息輸出LINGO 進(jìn)行優(yōu)化求解；優(yōu)化完成后返回新的設(shè)計(jì)變量值，修改ETABS 模型，進(jìn)行下一輪優(yōu)化計(jì)算，直至目標(biāo)函數(shù)收斂，收斂條件為，對(duì)于k次循環(huán)，結(jié)構(gòu)總造價(jià)Wk滿足循環(huán)判定條件|Wk-Wk-1|≤Δ，Δ為事先給定的小正數(shù)。流程圖如圖1所示。

LINGO 軟件是一種科學(xué)計(jì)算軟件，用于求解非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃等最優(yōu)化問題，其優(yōu)勢在于有內(nèi)置的建模語言，使用簡單、操作靈活，計(jì)算執(zhí)行速度快［6］，因此作為一款成熟的優(yōu)化軟件相比于自行編譯的優(yōu)化程序，提高了優(yōu)化模塊的效率。LINGO 用于讀取主控程序生成的內(nèi)力文件進(jìn)行優(yōu)化，將優(yōu)化結(jié)果生成程序返回主控程序。主要采用的方法為序列線性規(guī)劃法（SLP），將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，利用單純形法對(duì)其求解［7］。

圖1 整體優(yōu)化程序流程圖Fig.1 The flow chart of whole optimization program

2.2 VB主控程序

使用VB 語言編寫的主控程序主要用于模型信息的處理和整合，即處于LINGO 優(yōu)化模塊之前的控制程序。具體流程為：首先對(duì)選定的ETABS模型文件進(jìn)行識(shí)別，統(tǒng)計(jì)構(gòu)件標(biāo)簽、截面類型、節(jié)點(diǎn)標(biāo)簽、坐標(biāo)信息，進(jìn)行構(gòu)件分組和標(biāo)準(zhǔn)層劃分，目的是提高優(yōu)化程序的效率；然后在角點(diǎn)添加X、Y 向單位力用于虛功計(jì)算，獲取實(shí)際的層間位移角，控制ETABS 進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算分析，根據(jù)規(guī)范調(diào)整結(jié)構(gòu)內(nèi)力，提取各組構(gòu)件中最不利荷載組合；最后將數(shù)據(jù)輸出給優(yōu)化程序進(jìn)行優(yōu)化。

程序的輸入界面主要包括三大部分：構(gòu)件數(shù)據(jù)用于后期構(gòu)件的分組以及標(biāo)準(zhǔn)層的劃分；材料單價(jià)根據(jù)當(dāng)?shù)氐亩~計(jì)算指標(biāo)計(jì)算得到；設(shè)計(jì)基本參數(shù)是為了在程序的內(nèi)力計(jì)算時(shí)根據(jù)中國規(guī)范做出相應(yīng)的內(nèi)力調(diào)整，包括“強(qiáng)柱弱梁、強(qiáng)剪弱彎、強(qiáng)節(jié)點(diǎn)弱構(gòu)件調(diào)整”以及抗震能力系數(shù)調(diào)整等。

此外為了提高優(yōu)化效率，本文對(duì)主控程序還做出了以下調(diào)整：由于在高層建筑結(jié)構(gòu)中，除了底部幾層外，其余樓層的豎向構(gòu)件（框架和剪力墻）基本根據(jù)構(gòu)造條件來進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)，因此本文程序?qū)袅椭贿M(jìn)行了計(jì)算軸壓比需要的內(nèi)力提取；內(nèi)力提取時(shí)，選擇需要的荷載組合，排除非主要控制條件的荷載組合。

圖2 虛功原理示意圖Fig.2 The diagram of virtual work principle

2.3 虛功原理

在以往的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，廣泛使用的準(zhǔn)則法無法與位移約束同時(shí)考慮［8］，常常把位移約束和強(qiáng)度約束分開進(jìn)行獨(dú)立優(yōu)化，而忽略了兩者之間的相互影響也降低了優(yōu)化效率。本文嘗試使用虛功原理將層間位移顯式地表達(dá)出來進(jìn)行整體優(yōu)化，同時(shí)考慮混凝土等級(jí)為變量，使最后的優(yōu)化結(jié)果一次性滿足強(qiáng)度約束和位移約束。

如圖2 所示，在結(jié)構(gòu)上某一點(diǎn)K 點(diǎn)施加單位集中力FK=1，引起的支座反力為，結(jié)構(gòu)中某一微段上的內(nèi)力為。而實(shí)際狀態(tài)中K 點(diǎn)位移為?K，支座位移為c，微段上的相應(yīng)變形為dμ、dφ、γds，根據(jù)虛功原理有：

為了進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)值計(jì)算，需要將結(jié)構(gòu)的位移值顯式地表達(dá)出來，所以根據(jù)虛功原理推導(dǎo)出框架-核心筒結(jié)構(gòu)中某一位置的具體位移表達(dá)式為：

式中：E、G 為構(gòu)件的彈性模量和剪切模量；v 為混凝土泊松比；B 為截面寬度或厚度；A 為構(gòu)件截面面積，A2、A3、I1、I2、I3為截面的相關(guān)特性；F1、F2、F3、M1、M2、M3為框架梁和柱在某一工況下的截面內(nèi)力，f1、f2、f3、m1、m2、m3為框架構(gòu)件梁和柱在同一位置處的單位荷載下的截面內(nèi)力；F11、F22、F12、V13、V23、M11、M22、M12為剪力墻在某一工況下的截面內(nèi)力，f11、f22、f12、v13、v23、m11、m22、m12為剪力墻在同一位置處的單位荷載下的截面內(nèi)力。

簡化表達(dá)式為

式中：

式中：δcs為cs 層的位移值；δcs-1為cs-1 層的位移值；hcs為cs層層高。

同一層不同位置點(diǎn)的位移不盡相同，為了降低位移約束個(gè)數(shù)從而減少運(yùn)算量，程序選擇每層層間位移角最大位置——角柱節(jié)點(diǎn)的層間位移角進(jìn)行位移約束，即每一層共4 個(gè)控制點(diǎn)，根據(jù)施加的荷載，每個(gè)控制點(diǎn)分別由地震作用和風(fēng)荷載引起X、Y兩方向的層間位移。

3 算 例

3.1 模型信息

某30 層框架-核心筒結(jié)構(gòu)，關(guān)于X 軸與Y 軸對(duì)稱，平面尺寸如圖3 所示。每層層高4.0 m，抗震設(shè)防烈度為7 度（0.10 g），地震分組為第一組，特征周期為0.9 s，框架抗震等級(jí)為二級(jí)，剪力墻抗震等級(jí)為二級(jí)，基本風(fēng)壓0.55 kN/m2，地面粗糙度C 類，樓面附加恒荷載為2.5 kN/m2，活荷載為2.0 kN/m2，框架梁上線荷載為8.5 kN/m2。

3.2 優(yōu)化結(jié)果

初始模型在整體結(jié)構(gòu)剛度上有很大富余，結(jié)構(gòu)的剛度有較大的下降空間，即該模型有一定的優(yōu)化空間。由于該結(jié)構(gòu)較高，為減少優(yōu)化變量數(shù)目，劃分為3 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層，每層10 層，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層內(nèi)進(jìn)行構(gòu)件分組，分組名稱見表1，優(yōu)化前后的構(gòu)件尺寸。

圖3 初始標(biāo)準(zhǔn)層平面簡圖（單位：mm）Fig.3 The initial plan of standard floor（Unit：mm）

表1 優(yōu)化前后的構(gòu)件尺寸Table 1 The component sizes before and after optimization m

在地震作用和風(fēng)荷載作用下，優(yōu)化前后的層間位移角見表2。由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱，X、Y向施加的荷載相同，結(jié)構(gòu)在X、Y 向的作用響應(yīng)也應(yīng)該是近似的，故表中只選取了X 向的層間位移角。優(yōu)化以后，各層層間位移角都相應(yīng)增大，結(jié)構(gòu)剛度降低但滿足了整體位移約束條件。

表2 優(yōu)化前后的層間位移角Table 2 The story drift before and after optimization

整個(gè)優(yōu)化過程共進(jìn)行了8 次計(jì)算，優(yōu)化總時(shí)長近30小時(shí)。總造價(jià)的迭代曲線如圖4所示。優(yōu)化后，整個(gè)結(jié)構(gòu)造價(jià)比初始節(jié)省了20.1%。

圖4 總造價(jià)優(yōu)化曲線Fig.4 The optimization curve of total cost

整個(gè)優(yōu)化程序運(yùn)行速度較快，主要原因歸結(jié)于：成熟的優(yōu)化軟件LINGO；標(biāo)準(zhǔn)層劃分以及構(gòu)件的分組；控制條件的篩選：主梁為強(qiáng)度約束，而剪力墻和框架柱為剪壓比、軸壓比及位移角的約束，抓住了高層結(jié)構(gòu)的主要矛盾，降低了約束條件的數(shù)量。

4 結(jié) 論

本文基于LINGO 優(yōu)化求解器對(duì)框架-核心筒結(jié)構(gòu)進(jìn)行了造價(jià)優(yōu)化，用VB 語言編寫了相應(yīng)的程序。LINGO 作為成熟的優(yōu)化軟件可以提高優(yōu)化收斂的速度，使優(yōu)化程序擁有更高的優(yōu)化效率。同時(shí)以虛功原理有效地進(jìn)行了位移計(jì)算，提高優(yōu)化的精度，但是虛功數(shù)據(jù)量大，結(jié)構(gòu)復(fù)雜、構(gòu)件數(shù)量多時(shí)會(huì)大大增加優(yōu)化時(shí)間。本文通過算例驗(yàn)證了優(yōu)化程序的可行性，為結(jié)構(gòu)初期的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一個(gè)經(jīng)濟(jì)的方案。