單跨等截面柱門式剛架結構柱計算長度系數研究

段熙賓 劉曹宇

（中鐵第一勘察設計院集團有限公司，西安710043）

0 引 言

門式剛架在城市公共建筑，如超級市場、購物中心、大型會展廳、生產車間等有普遍應用。對于門式剛架的靜力性能，主要集中在門式剛架的極限穩定承載力和梁、柱的拼接節點上［1-5］。計算長度系數的研究源自于對軸心受壓桿件的屈曲分析。Timoshenko［6］發表了著作《彈性穩定理論》。Julian 和Lawrence［7］依據子結構假定，提出了有側移和無側移框架結構柱計算長度的計算方法，并依此研究方法制出了尺解圖。我國鋼結構設計規范依據Julian 提出的單根框架柱計算長度系數的理想模型，制定了有側移和無側移框架柱子的計算長度系數表。該種研究方法假定同層的各個柱子具有相同的穩定參數，并且忽略了與計算柱子未直接相連構件對其產生的約束作用，所以導致其計算結果與實際受荷作用存在偏差，因而有許多學者對此研究方法進行了修正［8-9］?！堕T式剛架輕型房屋鋼結構技術規程》和《冷彎薄壁型鋼結構技術規范》則先后采納了按層剛度計算的計算長度系數公式，以適用于各柱高度不等的剛架。梁啟智和曾令付［10］進行了參數化研究，分析了山形門式剛架的整體穩定性，分別針對鉸接和固接兩種連接方式分析了山形門式剛架的梁柱臨界應力和計算長度系數，并研究了計算長度系數隨參數的變化趨勢。李國強和侯和濤［11］提出了任意支撐作用下的鋼框架柱的計算長度計算公式。目前，設計人員在對屋面板為鋼骨架輕型板的門式剛架廠房進行設計時，采用何種規范仍存在爭議。若采用《門式剛架輕型房屋鋼結構技術規范》［12］對門式剛架廠房進行計算，經濟效益極為顯著，但給廠房結構的安全帶來了一定的隱患；若采用《鋼結構設計標準》［13］進行計算，剛架梁、柱的設計截面往往過大，且大多是由構件整體及局部穩定限值的構造要求控制，工程造價大幅增加，既不經濟亦不合理。基于以上實際情況，結合西安動車檢修段、大型養路機械檢修段、大功率機車檢修段等工程設計需求，有必要對此類采用鋼骨架輕型板作屋面板的門式剛架結構的受力性能進行研究，得到該類結構的合理設計方法。

求解剛架柱的計算長度系數，需首先確定柱子兩端的支座條件。由于梁柱連接節點既能承受一定的彎矩作用，又能夠發生相對轉動，在確定其支座條件時，不能簡單地認為是鉸接或者剛接連接，需要通過結構力學的計算，確定剛架結構對鋼柱頂端的支撐剛度，即通過確定計算簡圖，求出其支座端的水平剛度與轉動剛度。根據計算所得的支座剛度，在柱端設定水平彈簧支座和轉動彈簧支座，再根據柱子屈曲存在微小彎曲變形的條件，建立剛架柱的平衡微分方程，以求解柱子的分岔屈曲荷載。在建立屈曲平衡方程時，本文做如下基本假定：

（1）構件是理想的等截面挺直桿；

（2）壓力沿構件原來的軸線作用；

（3）材料符合胡克定律，即應力和應變呈線性關系；

（4）構件變形之前的平截面在彎曲變形之后仍為平面；

（5）構件的彎曲變形是微小的，曲率可以近似地用變形的二次微分表示，即Φ=-y?。

（6）不考慮門式剛架的整體失穩，僅對門式剛架單個桿件的穩定性進行研究。

由于柱腳連接方式的不同，直接會影響到剛架柱計算長度系數的計算結果，本文針對鉸接、剛接兩種柱腳連接方式展開研究，以確定兩種情況下剛架柱計算長度系數的計算方法。

1 柱腳鉸接剛架理論分析

對于柱腳鉸接形式的剛架結構形式，可針對鋼柱建立屈曲微分方程，柱子底部支座條件為鉸接形式，頂部為水平彈簧支座和轉動彈簧支座，所以在求解微分方程時，可認為柱子底端邊界條件為柱位移和彎矩值為0，而柱子頂部有對平移的彈性約束及轉動位移的彈性約束，即微分方程需滿足剪力和彎矩平衡作為邊界條件進行求解。柱腳鉸接形式剛架柱計算簡圖如圖1所示。

在求解水平彈簧支座和轉動彈簧支座剛度時，可分別對兩種彈簧支座形式作出計算簡圖，進行剛度求解。本文采用傳統力學方法進行超靜定結構的位移求解，可以求得單位位移下彈簧支座的反力值，即可得到轉動彈簧支座剛度rB和水平彈簧剛度kB。水平位移計算簡圖如圖2 所示，轉動位移計算簡圖如圖3所示。

圖1 柱腳鉸接剛架柱計算簡圖Fig.1 Simplified calculation diagram of articulated rigid frame column

圖2 水平彈簧支座位移計算簡圖Fig.2 Calculation diagram of displacement of horizontal spring bearing

圖3 轉動彈簧支座位移計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of displacement of rotating spring bearing

1.1 水平彈簧支座剛度計算

如圖2 所示，水平彈簧支座位移計算簡圖為一次超靜定結構，取A點力矩為多余約束力，撤去多余約束代之以未知力X1，得到如圖4 所示的基本體系。

基本體系應滿足A 點無轉角位移的變形條件，力法方程為

式中，δ11表示的是桿件在單位力X1的作用下，桿件端部產生的位移；Δ1P表示桿件在力F 的作用下，沿X1方向產生的位移。

圖4 水平彈簧支座位移計算基本體系Fig.4 Basic system for calculating displacement of horizontal spring bearing

由于梁柱的線剛度為

當斜梁的長度越長，或斜梁坡度越大時，長度比例系數ξ值越大。

采用圖乘法計算，可以得到柱腳鉸接形式下剛架柱頂水平彈簧支座的剛度的計算公式：

1.2 轉動彈簧支座剛度計算

如圖3 所示，轉動彈簧支座位移計算簡圖為一次超靜定結構，取A 點水平約束力為多余約束力，撤去多余約束代之以未知力X1，得到如圖5 所示基本體系。

采用圖乘法計算，可以得到柱腳鉸接形式下剛架柱頂轉動彈簧支座的剛度的計算公式：

1.3 剛架柱的屈曲方程

如圖1 所示，柱腳鉸接形式剛架柱計算可簡化為底部支座條件為鉸接形式，頂部為水平彈簧支座和轉動彈簧支座形式。在荷載P 作用下，剛架柱在其支座條件下發生變形，如圖6 所示。其中，以順時針的轉角為正，向右的平移為正，柱端的力矩和水平力以與位移同方向時為正，異向時為負。

圖5 轉動彈簧支座位移計算基本體系Fig.5 Basic system for calculating displacement of rotating spring support

圖6 剛架柱變形圖Fig.6 Deformation diagram of rigid frame column

取如圖7 所示隔離體，對單元隔離體建立彎矩平衡方程，得

建立力矩與x 軸相垂直的水平力的平衡方程：

將式（10）代入式（9），得：

圖7 單元隔離體Fig.7 Unit isolation body

由于式中各項參數具有如下關系：

將式（17）和式（18）代入式（13），得

式（19）為柱腳鉸接形式剛架柱的計算長度系數關于柱頂等效約束彈簧剛度的超越方程，當已知剛架結構的截面和剛架尺寸時，可根據式（5）和式（6）計算確定彈簧剛度值，繼而通過式（19）求得柱子的計算長度系數μ。

1.4 數值擬合

由于式（19）是超越方程，本文采用割線法對方程實根進行迭代求解，令

如圖8 所示，方程與x 軸具有無數個交點，而求解柱子計算長度系數的目的是為了求出構件中性平衡狀態時的最小荷載，故應求出計算長度系數μ值的最大解。

圖8 超越方程示意圖Fig.8 Diagram of transcendental equation

從0 至1 000 對KB、RB進行取值計算，可以得到計算長度系數取值，根據μ值變化速率，可制得柱腳鉸接剛架柱計算長度系數取值表，見表1。

表1 柱腳鉸接剛架柱計算長度系數取值Table 1 Values of length coefficient of column hinged frame column at column foot

當水平彈簧剛度取值為0，轉動剛度取值為1 000 時，μ 值計算結果為2.002，此時可以認為剛架柱簡化為柱腳鉸接，頂部平移但不能轉動的理論模型，接近于理論模型中μ 值為2.0 的計算結果；當水平彈簧剛度取值為1 000，轉動剛度取值為0時，μ 值計算結果為1.0，此時可以認為剛架柱簡化為兩端鉸接的理論模型，等于理論模型中μ值為1.0 的計算結果；當水平彈簧剛度取值為1 000，轉動剛度取值為1 000 時，μ 值計算結果為0.701，此時可以認為剛架柱簡化為柱腳鉸接，頂部剛接的理論模型，接近于理論模型中μ 值為0.7的計算結果。

對計算μ 值的超越方程進行擬合，需先確定超越方程的曲面形式，將KB、RB從0 至100 的計算結果繪制成曲面，如圖9所示。

圖9 柱腳鉸接剛架柱計算系數變化曲面圖Fig.9 Calculation of coefficient variation surface diagram of column hinged frame column

由表1 及圖9 可以發現，當KB、RB趨向于無窮大時，函數趨向于定值。使用MATLAB 對計算數據進行數值擬合，可以得到各項參數的系數值。即柱腳鉸接形式剛架柱計算系數擬合公式為

擬合公式和超越方程計算數據對比如圖10所示，其中，散點代表超越方程計算結果，三維曲面云圖代表擬合公式計算結果。

圖10 擬合公式和超越方程計算數據對比圖Fig.10 Comparison of the calculated data of the fitting formula and transcendental equation

計算可得，擬合公式（21）的確定系數為0.987 9，標準差為0.111 5，且計算結果略大于超越方程計算結果，所以擬合公式計算足夠精確，且可以適用于實際工程計算取值。

2 柱腳剛接剛架理論分析

對于柱腳剛接的剛架結構形式，可針對鋼柱建立屈曲微分方程，柱子底部支座條件為剛接形式，頂部為水平彈簧支座和轉動彈簧支座，在求解微分方程時，認為柱子底端邊界條件為柱位移和轉角為0，而柱子頂部有平移的彈性約束及轉動的彈性約束，即微分方程需滿足剪力和彎矩平衡作為邊界條件進行求解。柱腳鉸接形式剛架柱計算簡圖如圖11所示。

2.1 水平彈簧支座剛度計算

與前述計算過程類似，采用圖乘法計算，可以得到柱腳剛接形式下剛架柱頂水平彈簧支座的剛度的計算公式：

圖11 柱腳剛接形式剛架柱計算簡圖Fig.11 The calculation diagram of rigid frame column with rigid joint form

2.2 轉動彈簧支座剛度計算

與前述計算過程類似，采用圖乘法計算，可以得到柱腳剛接形式下剛架柱頂轉動彈簧支座的剛度的計算公式：

2.3 剛架柱的屈曲方程

如圖11 所示，柱腳剛接剛架柱計算可簡化為底部支座為剛接形式，頂部為水平彈簧支座和轉動彈簧支座形式。在荷載P 作用下，剛架柱在其支座條件下發生變形，如圖12所示。

圖12 剛架柱變形圖Fig.12 Deformation diagram of rigid frame column

與建立柱腳鉸接形式下剛架柱屈曲方程方法相同，取如圖13所示隔離體。

建立柱腳剛接形式下剛架柱屈曲方程：

令k2=P/EI2，可得到微分方程的通解：

圖13 單元隔離體Fig.13 Unit isolation body

方程的邊界條件為y（0）=0 和y'（0）=0。與前述推導過程類似，求解方程可得柱腳剛接形式下剛架柱的計算長度系數關于彈簧剛度的超越方程：

在確定彈簧剛度值時，即在確定剛架的截面大小和剛架尺寸時，可根據式（22）和式（23）計算確定彈簧剛度值，繼而求得柱子的計算長度系數。

2.4 數值擬合

同樣采用割線法對方程式（26）的實根進行迭代求解。令

如圖14所示，方程與x軸具有無數個交點，需求出計算長度系數μ值的最大解。

圖14 超越方程示意圖Fig.14 Diagram of transcendental equation

從0 至1 000 對KB、RB進行取值計算，可以得到計算長度系數取值，根據μ值變化速率，可制得柱腳剛接剛架柱計算長度系數取值表，見表2。

表2 柱腳剛接剛架柱計算長度系數取值Table 2 Values of length coefficient of column leg rigidness frame column

當水平彈簧剛度取值為1 000，轉動剛度取值為0時，μ 值計算結果為0.7，此時可以認為剛架柱簡化為柱腳剛接，頂部鉸接的理論模型，等于理論模型中μ 值為0.7的計算結果；當水平彈簧剛度取值為0，轉動剛度取值為0 時，μ 值計算結果為2，此時可以認為剛架柱簡化為柱腳剛接，頂部自由的理論模型，等于理論模型中μ 值為2 的計算結果；當水平彈簧剛度取值為1 000，轉動剛度取值為1 000 時，μ 值計算結果為0.501，此時可以認為剛架柱簡化為兩端剛接的理論模型，等于理論模型中μ值為0.5的計算結果。

對計算μ 值的超越方程進行擬合，需先確定超越方程的曲面形式，將KB、RB從0 至100 的計算結果繪制成曲面，如圖15所示。

圖15 柱腳剛接剛架柱計算系數變化曲面Fig.15 Calculation of coefficient variation surface diagram of column leg rigid-frame column

由表2 及圖15 可以發現，當KB、RB趨向于無窮大時，函數應趨向于定值。使用MATLAB 對計算數據進行數值擬合，可以得到柱腳剛接形式下剛架柱計算系數擬合公式為

擬合公式和超越方程計算數據對比如圖16所示，其中，散點代表超越方程計算結果，三維曲面云圖代表擬合公式計算結果。

計算可得，擬合公式（28）的確定系數為0.977 5，標準差為0.048 18，計算結果略大于超越方程計算結果，所以擬合公式計算足夠精確，且可以適用于實際工程計算取值。

3 結 論

（1）對兩種柱腳連接形式下單跨門式剛架等截面剛架柱頂部等效約束剛度做了理論推導與分析，提出了約束剛度的計算公式，其水平支撐剛度同梁柱線剛度比、梁柱長度比值級鋼柱幾何長度有關，轉動支撐剛度同梁柱線剛度比、梁柱長度比值有關。利用該公式，根據剛架尺寸及截面等基本信息可快速計算出柱頂部約束剛度值。

圖16 擬合公式和超越方程計算數據對比圖Fig.16 Comparison of the calculated data of the fitting formula and transcendental equation

（2）通過建立鉸接柱腳及剛接柱腳的剛架柱屈曲微分方程，推導出關于響應的剛架柱平面內計算長度的超越方程，并得到計算長度系數的擬合計算公式，該公式具有較為精確的近似結果。