基于復阻尼模型的混合結構近似解耦法

趙志明 楊 紅，2，* 孫攀旭 劉慶林

（1.重慶大學土木工程學院，重慶400045；2.重慶大學山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶400045；3.深圳信息職業技術學院交通與環境學院，深圳518172）

0 引 言

鋼-混凝土混合結構能夠綜合利用鋼結構和混凝土的優點，在現代建筑中已得到廣泛應用［1-3］。這類結構由阻尼性能存在差異的材料組成，因此屬于非比例阻尼結構，其阻尼矩陣不再滿足對振型向量的正交性，無法直接利用常規的實模態疊加法進行結構的動力響應分析［4-5］。

為解決該問題，部分學者將非比例阻尼結構體系近似為比例阻尼結構體系，采用整體Rayleigh 阻尼模型計算混合結構的動力響應。黃維等［6-7］基于隨機地震動激勵下位移響應誤差最小原則建議了最佳等效阻尼比公式，根據Rayleigh 阻尼模型來計算豎向混合結構的動力響應；李小珍等［8］分析了結構阻尼比和參考頻率選取對耦合系統動力響應的影響規律，并基于Rayleigh 阻尼模型的帶通濾波特征提出了車-軌-橋混合動力系統中Rayleigh 阻尼參數的統一取值方法；陳旭等［9］提出選取控制結構反應的子結構周期來確定Rayleigh 阻尼矩陣。與上述基于整體Rayleigh 阻尼模型的近似求解法相比，采用分塊Rayleigh 阻尼模型的求解思路能更好地反映各部分的耗能特性［10］。Clough 等［11］、Huang 等［12］基于Rayleigh 阻尼模型構建混合結構的子結構阻尼矩陣，將各子結構的比例阻尼矩陣組裝成非比例阻尼矩陣，通過數值積分法來進行混合結構動力響應分析，但計算量較大。為提高計算效率，湯燕波［13］基于分塊Rayleigh 阻尼模型來構造混合結構的阻尼矩陣，采用忽略阻尼矩陣非對角項的近似解耦法。

上述兩類方法均建立在Rayleigh 阻尼模型基礎上，其最大的不足是形成阻尼矩陣時會受振型組合的影響，帶有一定的主觀性，存在計算結果不唯一、合理性不易被確定的缺點。而基于復阻尼模型得到的阻尼矩陣僅依賴于材料損耗因子，阻尼矩陣可以唯一確定，因此部分學者采用復阻尼模型來進行非比例阻尼結構體系的動力響應分析。黃本才［14］、任紅偉［15］、黃維［16］等依據復阻尼模型的時域運動方程，將非比例阻尼體系的特征值等效為比例阻尼體系的特征值，得到等效振型阻尼比，以實現非比例阻尼體系動力響應的計算，但由于忽略了阻尼矩陣實部和虛部的耦合作用，其計算精度難以保證。朱鏡清等［17］根據復化對偶原則提出了基于復阻尼模型的實模態以及復模態疊加法以求解多自由度系統的動力響應；劉慶林等［18］采用基于復阻尼假定的復模態疊加法，直接在物理空間求解，計算結果唯一。但上述方法均需要計算結構的復振型向量，其計算過程較為復雜，不適于在工程結構計算中推廣使用。

針對混合結構的動力響應計算，本文依據近似解耦法，提出了基于復阻尼模型的實模態疊加法。與基于Rayleigh 阻尼模型的實模態疊加法相比，本文提出的方法具有計算結果唯一、合理性易判定的優點；相比基于復阻尼模型的復模態疊加法，本文提出的方法計算簡便，更適合實際工程的結構計算。

1 基于復阻尼模型的近似解耦法

地震作用下基于復阻尼模型的多自由度體系時域運動方程為

式中，M 為結構的質量矩陣；K 為結構的剛度矩陣；Cη為結構的阻尼矩陣；g(t)為地震加速度；I 為與地震動輸入有關向量；與g(t)方向相同的元素為1，其他為零；i為虛數單位，即i= -1。

假定體系是由不同阻尼特性材料組成，可得到結構的阻尼矩陣為

式中：r 為材料種類的個數；ηe，j為第j 種材料的損耗因子；Kj為第j種材料對應的剛度矩陣。

方程式（1）對應的無阻尼振型向量矩陣為

采用無阻尼振型向量可對質量矩陣和剛度矩陣進行正交化

對于小阻尼比情況下，忽略非對角元素的影響，采用近似解耦的方法，僅保留對角項，即

位移向量由振型向量線性表出

方程式（1）則可轉化為

地震加速度采用三角級數展開

式中，常數項需利用靜力條件進一步確定，在恒載作用下方程式（1）表示為

在恒載作用下，響應可直接利用受力平衡得到，即

將式（20）代入方程式（19），得

式中，yc，n(t)為方程式（24）對應的齊次方程通解；yp，n(t)為方程式（24）對應的非齊次方程特解。

方程式（9）對應的齊次方程為

依據式（32），可知方程式（33）的通解實部為

式（34）第二項為發散項，根據物理意義進行剔除，式（34）轉化為

其中，yp1，n(t)為方程式（24）中(a0，n+ia0，n′)對應的特解，yp2，n(t)為方程式（24）中(r(t)+ir′(t))對應的特解。

對于方程

由式（51）可計算出yn(t0)和y?n(t0)，進而完成基于復阻尼模型的混合結構模態疊加法。

2 算例分析

分別構建2 自由度的豎向混合結構模型A 和9 自由度的豎向混合結構模型B，如圖1 所示，結構上部皆選用鋼結構，其阻尼比為0.02，對應的損耗因子為0.04［18］；結構下部均選用鋼筋混凝土結構，阻尼比為0.05，對應的損耗因子為0.10［18］。模型A和B的自振頻率如表1所示。

圖1模型參數Fig.1 Model parameter

表1 模型A和B的自振頻率Table 1 Dynamic characteristics of ModelAand B rad·s-1

圖2 El Centro 波作用下模型A的頂層響應Fig.2 Top response of Model A under El Centro wave

圖3 Taft波作用下模型A的頂層響應Fig.3 Top response of Model A under Taft wave

分別采用基于復阻尼模型的頻域法（FFD）、本文方法（FD）和基于黏性阻尼模型的近似解耦法（VD）計算模型A 的位移響應和加速度響應，結果如圖2、圖3 所示，其中基于復阻尼模型的頻域法（圖中FFD）可視為精確解［19］。對于混合結構，采用黏性阻尼模型進行計算時，可采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法構造阻尼矩陣。模型A 為二自由度體系，采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法時直接選擇第一階振型和第二階振型構造阻尼矩陣，進而實現基于黏性阻尼模型的近似解耦法。模型A 的計算結果對比表明，FD 和FFD 的位移時程和加速度時程近似相等（圖2和圖3），峰值位移和峰值加速度的相對誤差在5%以內（表2 和表3），因此小阻尼比情況下，采用基于復阻尼模型的近似解耦法可滿足計算精度；FFD和VD的位移時程和加速度時程近似相等（圖2和圖3），峰值位移和峰值加速度的相對誤差在5%以內（表2 和表3），因此小阻尼比情況下，對于二自由度體系，基于復阻尼模型的近似解耦法和基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結果近似相等。

與模型A 相同，仍然分別采用FFD、FD 和VD計算模型B 的位移響應和加速度響應，所得結果如圖4、圖5 和圖6 所示。對比計算結果表明，FD和FFD 的位移時程和加速度時程近似相等（圖4-圖6），峰值位移和峰值加速度的相對誤差在5%以內（表4-表6），這進一步證明了基于復阻尼模型近似解耦法的正確性。

由于模型B 為九自由度體系，采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法構造阻尼矩陣時需要考慮振型組合問題，這也是實際工程結構均會面臨的問題。為盡量全面、合理地考慮實際工程應用可能選擇的做法，本文分別采用基于第一階振型和第二階振型的黏性阻尼模型近似解耦法（VD1）、基于第一階振型和外激勵卓越頻率接近振型的黏性阻尼模型近似解耦法（VD2）計算了模型B 的動力響應。

表2 El Centro 波作用下模型A的頂層響應Table 2 Top response of Model A under El Centro wave

表3 Taft波作用下模型A的頂層響應Table 3 Top response of Model A under Taft wave

圖4 El Centro 波作用下模型B的頂層響應Fig.4 Top response of Model B under El Centro wave

圖5 Taft波作用下模型B的頂層響應Fig.5 Top response of Model B under Taft wave

圖6 天津波作用下模型B的頂層響應Fig.6 Top response of Model B under Tianjin wave

El Centro 波作用下，FFD 和VD1 的位移時程和加速度時程差異較小，FFD 和VD2 的位移時程和加速度時程差異較大（圖4），FFD 和VD1 的峰值位移相對誤差為4.71%，FFD 和VD1 的峰值加速度相對誤差為5.66%，FFD 和VD2 的峰值位移相對誤差為9.91%，FFD 和VD2 的峰值加速度相對誤差為15.44%（表4）。

表4 El Centro 波作用下模型B的頂層響應Table 4 Top response of Model B under El Centro wave

Taft 波作用下，FFD 和VD1 的位移時程近似相等，但加速度時程差異較大，FFD和VD2的位移時程和加速度時程近似相等（圖5），FFD 和VD1的峰值位移相對誤差為4.75%，FFD 和VD1 的峰值加速度相對誤差為10.33%，FFD 和VD2 的峰值位移相對誤差為2.00%，FFD 和VD2 的峰值加速度相對誤差為0.89%（表5）。

表5 Taft波作用下模型B的頂層響應Table 5 Top response of Model B under Taft wave

天津波作用下，FFD 和VD1 的位移時程和加速度時程近似相等，FFD 和VD2 的位移時程和加速度時程差異較大（圖6），FFD 和VD1 的峰值位移相對誤差為1.17%，FFD 和VD1 的峰值加速度相對誤差為1.86%，FFD 和VD2 的峰值位移相對誤差為6.14%，FFD 和VD2 的峰值加速度相對誤差為7.82%（表6）。

表6 天津波作用下模型B的頂層響應Table 6 Top response of Model B under Tianjin wave

因此，模型B 的計算結果再次證明了黏性阻尼模型在構造阻尼矩陣時總是面臨如何合理考慮振型組合的問題，不同的振型組合將造成計算結果的較大差異，基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結果的正確性依賴于振型組合的合理選擇，工程常用的振型組合方法（例如VD1 選擇第一階振型和第二階振型進行組合）也會導致較大的誤差（見Taft 波的計算結果），這必然導致該方法的合理性難以判定。與基于黏性阻尼模型的近似解耦法相比，基于復阻尼模型的近似解耦法計算結果唯一，合理性易被判定，適于推廣使用。

3 結 論

經理論推導和算例分析，得到以下結論：

（1）依據結構的損耗因子可快速確定結構復阻尼矩陣，在此基礎上提出了基于復阻尼模型的近似解耦法，利用三角級數法實現了地震作用下混合結構動力響應的時程計算。

（2）采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法構造阻尼矩陣時，對于二自由度體系，基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結果唯一，與基于復阻尼模型的近似解耦法計算結果近似相等；對于一般多自由度體系，基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結果不具有唯一性，其計算結果的正確性依賴于振型組合的合理選擇，導致方法的合理性難以判定。

（3）小阻尼情況下，基于復阻尼模型的近似解耦法計算結果可滿足計算精度，且計算結果具有唯一性，不涉及振型組合選擇問題，合理性易被判定。