“數(shù)學(xué)文化”背景下中考數(shù)學(xué)應(yīng)用試題的評價與思考
——以2017-2020 年福建省中考數(shù)學(xué)試卷為例

李 霞

（福州教育研究院，福建 福州 350001）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》）中指出：“數(shù)學(xué)是一種文化，即‘?dāng)?shù)學(xué)文化’，是指數(shù)學(xué)的理性精神、思想方法、觀點語言及它們的形成與發(fā)展；其中包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動；特別是數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)在科技及社會發(fā)展中的作用及意義.”［1］

國際客戶管理學(xué)院（ICMI）研究系列中，Blum、Galbraith 和Niss（2007）所著的《數(shù)學(xué)教育中的建模與應(yīng)用》一書中指出：“數(shù)學(xué)應(yīng)用指將數(shù)學(xué)領(lǐng)域外的現(xiàn)象、對象、假設(shè)、關(guān)系等現(xiàn)象，通過數(shù)學(xué)的建構(gòu)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)內(nèi)部的現(xiàn)象、對象、假設(shè)、關(guān)系等問題，而后運用數(shù)學(xué)中的系統(tǒng)知識加以解決.”［2］這種“數(shù)學(xué)應(yīng)用”與《標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中“數(shù)學(xué)文化”中“數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用”含義一樣.普通高等學(xué)校本科專業(yè)類教學(xué)質(zhì)量國家標(biāo)準(zhǔn)中：“數(shù)學(xué)類專業(yè)人才的培養(yǎng)目標(biāo)，其中就包含運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.”［3］

中國高考評價體系中的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，將《標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中的六大核心素養(yǎng)概括和凝練成四個方面，其中兩個方面就是“數(shù)學(xué)應(yīng)用”與“數(shù)學(xué)文化”［4］.數(shù)學(xué)文化不僅包含數(shù)學(xué)知識、思想方法與各種技能的總和，還包括觀念“成分”，也就是數(shù)學(xué)“傳統(tǒng)”，其中的“傳統(tǒng)”為數(shù)學(xué)界在教育教學(xué)的研究與學(xué)習(xí)上提供了示范與啟迪.［5］任子朝、趙軒的《基于高考評價體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實施路徑》一文認(rèn)為：“學(xué)科素養(yǎng)是解決問題的綜合品質(zhì).這里的解決問題狹義上就是指數(shù)學(xué)應(yīng)用.特別提到對數(shù)學(xué)應(yīng)用應(yīng)體現(xiàn)在實踐探究層面”［6］.新高考導(dǎo)向下對數(shù)學(xué)試題的“應(yīng)用性”考查，應(yīng)該是通過實際生活試題的情境設(shè)計，將抽象的數(shù)學(xué)概念與實際相結(jié)合，運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識、思想和方法有效解決實際問題的方法和能力.［7］

基于“數(shù)學(xué)文化”背景下的中考數(shù)學(xué)應(yīng)用試題的命制，可以倡導(dǎo)數(shù)學(xué)觀念：“文化學(xué)習(xí)”與“理性思維”.“文化學(xué)習(xí)”的過程會更加關(guān)注數(shù)學(xué)的本源，如數(shù)學(xué)概念、公式、方法的起源，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題回歸到本源上去尋找；對“理性思維”，我們提倡整體化體驗、領(lǐng)悟數(shù)學(xué).在知識的獲得過程中，以“文”化人，理解數(shù)學(xué)精神，拓展數(shù)學(xué)思維.特別是通過對數(shù)學(xué)文化融入中考數(shù)學(xué)應(yīng)用試題的評價，利用其考查的功能，引領(lǐng)教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的教育教學(xué)價值，讓中高考評價體系下的“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)掌握，及“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的實踐探究，能在課堂上“生根落地”［8］.為了窄化“數(shù)學(xué)文化”背景下的數(shù)學(xué)應(yīng)用試題的研究，文章僅從試題中數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化、生產(chǎn)、生活應(yīng)用的測試題考查情況，展開評價與思考.［9］

一、“數(shù)學(xué)文化”背景下的應(yīng)用試題考查分析

（一）考查知識點的分布及得分情況

表1 2017-2020 福建中考數(shù)學(xué)應(yīng)用試題測評情況（以某市約7 萬人數(shù)考生為樣本）

在表1 中可以看到，福建近四年中考數(shù)學(xué)卷中應(yīng)用試題的考查，分別分布在選擇、填空、解答三類題型中，總題數(shù)為5 或6 題，主要是考查用數(shù)學(xué)中統(tǒng)計或方程函數(shù)中的知識對數(shù)學(xué)領(lǐng)域外的隨機現(xiàn)象、生活、生產(chǎn)對象與關(guān)系等問題進(jìn)行解決［10］.考察的分值除了2020 年的34 分，其他年份穩(wěn)定在36 分.考試的知識點基本上是基于課標(biāo)的核心概念.從得分占比看：今年因疫情緣故，數(shù)學(xué)應(yīng)用試題的考查題序前移，難度值上調(diào)，得分占比為74%.但前三年的得分率占比：2017年62%；2018 年58%；2019 年56%；逐年下降，是生源問題？試題問題？還是教師對數(shù)學(xué)生產(chǎn)生活應(yīng)用問題的教學(xué)不以為然？從前三年難度系數(shù)上看，學(xué)生得分下降的題序主要在于22 和23 題，由2017 年及2018年的0.4-0.5 之間下降到0.2-0.3 之間，而這兩位置試題內(nèi)容的考查都是基于生產(chǎn)生活情境下方程、函數(shù)、統(tǒng)計等模型的構(gòu)建.

（二）考查的情境背景及目標(biāo)指向

表2 2017-2019 福建中考數(shù)學(xué)應(yīng)用試題中數(shù)學(xué)文化背景及目標(biāo)指向

表2 中我們看到，福建三年中考數(shù)學(xué)與生產(chǎn)生活應(yīng)用試題的數(shù)學(xué)文化情境背景，基本來源于《孫子算經(jīng)》《四元玉鑒》《增刪算法統(tǒng)宗》、商業(yè)、教育、國情等.考查的知識取向從陳述性知識到程序型知識，特別是解答題中不僅關(guān)注陳述性知識與程序型知識，并且關(guān)注到認(rèn)知策略及元認(rèn)知的考查，考查的目標(biāo)倡導(dǎo)知能并行.填選題型關(guān)注單一知識點的考查，關(guān)注所學(xué)章節(jié)的小節(jié)或小節(jié)所在章節(jié)的水平內(nèi)遷移；解答題的考查關(guān)注生活情境中的數(shù)學(xué)運用；關(guān)注多種思想方法，關(guān)注學(xué)科關(guān)鍵能力，關(guān)注初高銜接.這四年考查的23道“文化試題”中有14 道題區(qū)分度在0.4 以上，說明對中考的兩考（水平加選拔）有很好的選拔功能.但是我們也看到一些試題的區(qū)分度在0.3 以下，一些試題在評價功能的作用體現(xiàn)不夠，還只是單一知識點的簡單記憶.同時我們看到教師在數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)關(guān)注度有待提高：對試題而言，試題難教師不怕，因為有模式和思路可言，而試題“新”教師就“慌”，沒有套路可循.而這“新”其實就是情境不熟悉，“數(shù)學(xué)文化”不了解.下面我們以福建省這三年考查的一些應(yīng)用試題為例加以評價.

二、“數(shù)學(xué)文化”背景下的應(yīng)用試題典例分析

（一）以我國古代名家名著的素材為背景

1.試題呈現(xiàn)

2.試題價值

（1）基于數(shù)學(xué)文化歷史的數(shù)學(xué)史視角

這四年福建中考基于我國古代名家名著的素材為背景的有《四元玉鑒》《孫子算經(jīng)》與《增刪算法統(tǒng)宗》等.《四元玉鑒》為元代朱世杰的代表作，在《四元玉鑒》中，四元術(shù)是朱世杰的偉大創(chuàng)造，當(dāng)時就已經(jīng)給出了用方程方法解決實際問題的兩個步驟：設(shè)元與求解，這些對于今天具備初等數(shù)學(xué)知識的人來說是一件很顯然的事情，但在天元術(shù)前不是一個簡單的事情.《孫子算經(jīng)》是唐朝初期作為“算學(xué)”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一，算術(shù)（法）源自古代，十進(jìn)位制計數(shù)在我國春秋戰(zhàn)國時期已經(jīng)得到了普遍應(yīng)用，《孫子算經(jīng)》下卷中就有記載“物不知數(shù)”題即“孫子問題”，這為后來出現(xiàn)的“雞兔同籠”這一經(jīng)典問題，無異于始祖之問.［15］了解了《四元玉鑒》的背景，“雞兔同籠”的出注，就能在一定層面弘揚古老的中國在數(shù)學(xué)上的成就與輝煌.《增刪算法統(tǒng)宗》是清代著名數(shù)學(xué)家梅瑴成對《算法統(tǒng)宗》的增刪、校改和注釋，珠算被譽為中國古代的第五大發(fā)明，它不但推動了珠算發(fā)展，對研究數(shù)學(xué)史和珠算史的發(fā)展不失為寶貴的學(xué)術(shù)文獻(xiàn).［16］

通過這些名家名著的素材挖掘與學(xué)習(xí)，不但能提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣與愛好，還能激發(fā)學(xué)生對古老東方數(shù)學(xué)探究的欲望.這種命題后的教學(xué)指向無疑讓教師在教學(xué)中，要關(guān)注中國數(shù)學(xué)文化歷史，對導(dǎo)向“立德樹人”的教學(xué)提供很好的載體與方向.

（2）基于問題解決過程中的思維思考

這四年解答題的第一道試題都是考查列方程組或列方程求解.在教學(xué)中我們應(yīng)該要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注列二元一次方程組與列一元一次方程的本質(zhì)區(qū)別：列一元一次方程只用找出一個等量關(guān)系［17］；而列二元一次方程組，則需要找出兩個等量關(guān)系，再根據(jù)每個關(guān)系分別列出兩個方程，而后得到方程組［18］.找等量關(guān)系之前要先找出數(shù)量關(guān)系，應(yīng)該讓學(xué)生明白，應(yīng)用題的題面中每一句話基本上對應(yīng)著一個數(shù)量關(guān)系，2 個未知量之間的關(guān)系都由數(shù)量關(guān)系決定的，并且一個已知一個未知才能構(gòu)成一次問題，否則是二次問題.最后利用部分量之和等于總量找到等量關(guān)系，就能得到兩個方程組.這種思維的過程就是數(shù)學(xué)文化中理性思維的表現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識方法是數(shù)學(xué)文化的載體.

在問題的解決中，滲透對二元一次方程組與一元一次方程等陳述性知識的判斷，求解過程中蘊含著用字母表示數(shù)的代數(shù)思想及化歸方法；特別是對程序性認(rèn)識中“消元”思想的元認(rèn)知：明白消元其實只是一個現(xiàn)象，而轉(zhuǎn)化卻是解決方程組問題的本質(zhì).將字母等同已知量計算.將復(fù)雜代數(shù)式轉(zhuǎn)化為簡單代數(shù)式等.這些都是數(shù)學(xué)文化理性精神中代數(shù)思維與數(shù)學(xué)簡潔美的表現(xiàn).

（二）以生產(chǎn)與生活中的情境素材為背景

1.試題呈現(xiàn)

《2019 年福建省中考數(shù)學(xué)卷》第23 題：某種機器使用期為三年，買方在購進(jìn)機器時，可以給各臺機器分別一次性額外購買若干次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費為2000 元.每臺機器在使用期間，如果維修次數(shù)未超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù)，每次實際維修時還需向維修人員支付工時費500 元；如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù)，超出部分每次維修時需支付維修服務(wù)費5000 元，但無需支付工時費某公司計劃購置1 臺該種機器，為決策在購買機器時應(yīng)同時一次性額外購買幾次維修服務(wù)，搜集并整理了100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，整理得下表；

（1）以這100 臺機器為樣本，估計“1 臺機器在三年使用期內(nèi)維修次數(shù)不大于10”的概率；

（2）試以這100 機器維修費用的平均數(shù)作為決策依據(jù)，說明購買1 臺該機器的同時應(yīng)一次性額外購10次還是11 次維修服務(wù)？［13］

2.試題分析

本題滿分10 分，7 萬考生的均分大概2.6 分左右，難度系數(shù)0.26.存在的問題關(guān)鍵：（1）題意不理解：對購買機器時應(yīng)同時“一次性額外購買幾次維修服務(wù)”得到的表格用處不明白，不會讀取數(shù)據(jù)，更找不到數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián).另外對以“這100 機器維修費用的平均數(shù)”作為決策依據(jù)不會推斷.（2）對數(shù)據(jù)的處理方式缺少目標(biāo)與判斷：學(xué)生需算出：購10 與11 次時的費用：

y1=（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300；

y2=（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，本題體現(xiàn)了核心觀下運算求解能力的考查：理解運算對象（一次性額外購10 次還是11 次服務(wù)），明確運算對象的特征（加權(quán)平均數(shù)計算）；探索運算思路（權(quán)重尋找），設(shè)計運算程式（如何用加法法則原理簡便計算）等.這是五位數(shù)之間的加減運算，若沒有分析運算中對象的屬性，找到簡便運算的途徑，在有限的時間里實難完成題目的求解.

3.試題價值

（1）基于人類生活、社會發(fā)展中的意義

隨著社會的進(jìn)步，購買服務(wù)成了當(dāng)今社會不可或缺的一項事物，提倡專業(yè)事情由專業(yè)人員做來提高工作效率.如何最優(yōu)解決購買問題，這一“情境活動”過程就經(jīng)歷著學(xué)習(xí)行為.所謂的“情境活動”是指在情境中進(jìn)行問題解決或任務(wù)完成的活動.本題以工業(yè)生產(chǎn)中的購買服務(wù)為問題導(dǎo)向，呈現(xiàn)現(xiàn)實生活中實際存在的問題，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考和判斷，并通過數(shù)學(xué)的建構(gòu)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計知識提出解決問題的方案.這種問題解決的過程經(jīng)歷著數(shù)學(xué)文化中“理性思維”的表現(xiàn)：如模型的構(gòu)建、方法的探究、結(jié)果的論證等過程.也是學(xué)生應(yīng)對生活實踐或陌生問題情境的關(guān)鍵能力表現(xiàn).

（2）基于統(tǒng)計在學(xué)段教學(xué)的價值與導(dǎo)向

表3 2011 年到2018 年期間與統(tǒng)計特征量考查相關(guān)的高考題

從表格中可以看到：這八年試題中與平均數(shù)、方差相關(guān)的各有5 次，我們知道高中統(tǒng)計學(xué)的是推斷統(tǒng)計，突出的是統(tǒng)計學(xué)的隨機性和假定性，而初中階段主要學(xué)習(xí)描述性統(tǒng)計.［19］描述性統(tǒng)計可以用平均數(shù)或方差這些特征量來描述.但方差在運算中涉及較復(fù)雜的根式運算，初中學(xué)業(yè)考試不是太適合.另外，平均數(shù)的學(xué)習(xí)貫穿著小學(xué)、初中和高中階段，它的加權(quán)平均數(shù)的考查也是義務(wù)教育課標(biāo)的要求.因此它是統(tǒng)計學(xué)的學(xué)科基礎(chǔ)，也是中考考查的熱點，福建省四年統(tǒng)計考查的內(nèi)容也都是基于平均數(shù)特征量下對問題的推斷.

初中階段數(shù)據(jù)包含的含義和特征量的代表性追求的是初中階段統(tǒng)計知識的屬性特征，初中階段要落實好五個特征數(shù)（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、眾數(shù)）在不同情況下的刻畫.明白哪些是刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，哪些是刻畫樣本數(shù)據(jù)的波動大小；中位數(shù)抗極端數(shù)據(jù)強，平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)代表了更多的數(shù)據(jù)信息.數(shù)據(jù)分析觀念是需要學(xué)生在親身經(jīng)歷統(tǒng)計全過程的數(shù)據(jù)處理中培養(yǎng)對數(shù)據(jù)的領(lǐng)悟，而后根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，并在用統(tǒng)計意識處理過程中感悟統(tǒng)計思維與思想方法.這四年統(tǒng)計應(yīng)用試題都在引領(lǐng)教師對于統(tǒng)計的學(xué)習(xí)要關(guān)注實際，特別是基于陌生環(huán)境下對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述與分析，并選用適當(dāng)?shù)奶卣髁窟M(jìn)行統(tǒng)計推斷，這種數(shù)學(xué)推斷能力的養(yǎng)成要基于學(xué)生對統(tǒng)計章節(jié)學(xué)習(xí)后的“文化”沉淀，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成的一種結(jié)果，也是對“數(shù)學(xué)文化”與“數(shù)學(xué)應(yīng)用”交融的一種理解.

三、基于“數(shù)學(xué)文化”背景下的數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)思考

（一）發(fā)揮《九章算術(shù)》等在一些章節(jié)教學(xué)的功能作用

數(shù)學(xué)命題只是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的一個途徑而已，初中學(xué)業(yè)考試一般有水平加選拔功能：一是測量學(xué)生的學(xué)習(xí)水平與能力，二是引領(lǐng)后續(xù)的學(xué)科教學(xué).試題立意是為了體現(xiàn)學(xué)業(yè)考試命題的指導(dǎo)思想及實現(xiàn)考查目標(biāo)所確定的命題意向，立德樹人是中高考的根本任務(wù)，我們要牢記為國育人的初心，堅持為國育才的立場.強化愛國情懷，弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.教師在教學(xué)中應(yīng)充分領(lǐng)會傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)一些學(xué)段層面的表現(xiàn)，如古中國第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦漢時期數(shù)學(xué)取得的成就，特別是它的算法體系目前依然推動著計算機的發(fā)展與應(yīng)用.《九章算術(shù)》分為九卷246 個數(shù)學(xué)問題，特別是卷第七盈不足、卷第八方程及卷第九勾股內(nèi)容與初中學(xué)生的知識系統(tǒng)相契合.卷第七盈不足講的是雙假設(shè)算法，主要是將問題轉(zhuǎn)化為兩個未知數(shù)的方程組求解；卷第八方程更多的是三元或多元方程組的求解（線性方程組的系數(shù)排列而成的長方陣問題），以及負(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生及與零之間的加減運算；而卷第九勾股講的是以測量問題為中心的直角三角形三邊之間的關(guān)系.［20］明白了《九章算術(shù)》一些章節(jié)講授的內(nèi)容，在有理數(shù)、方程、勾股章節(jié)的教學(xué)中就可以滲透.

（二）關(guān)注《概率與統(tǒng)計》中模型問題教學(xué)的策略

核心觀下的中考改革歷程從考知識、雙基到考能力，從考做題到考做事、做人；對學(xué)生的要求從知識點的掌握到知識的內(nèi)化和理解，再到基于知識在真實情境中的靈活與創(chuàng)造性運用，最后到應(yīng)對解決陌生復(fù)雜開放真實問題.解決陌生復(fù)雜開放真實問題一般要有建立模型處理問題的意識與能力.而初中階段的統(tǒng)計模型學(xué)生最不容易掌握，教學(xué)中要努力發(fā)展學(xué)生在統(tǒng)計中通過數(shù)據(jù)探究規(guī)律的歸納思想，能用統(tǒng)計模型解決問題的意識.因此在《概率與統(tǒng)計》模塊教學(xué)中，要關(guān)注對概念的理解，對內(nèi)容作用的把控.

概率的教學(xué)：一方面從事件發(fā)生的可能性去判斷把握概率；另一方面從事件的頻率來估計事件的概率.數(shù)學(xué)是解決實際問題的工具，而概率是大數(shù)據(jù)背景下很重要的解決問題的模型工具.概率的這種作用決定了它的數(shù)學(xué)應(yīng)用地位.

統(tǒng)計的教學(xué)：應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，重視運用統(tǒng)計方法提取題目信息，體會方法價值，切忌將統(tǒng)計課堂教學(xué)處理成為單純的繪圖技能與數(shù)字計算.［21］很多學(xué)生會對具體的數(shù)據(jù)求出其平均值，但遇到具體的數(shù)據(jù)需要用平均數(shù)分析時，卻想不到運用平均數(shù).因此平均數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵是加強學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識，在遇到數(shù)據(jù)“不超離”的樣本時，會想到用平均數(shù)，會用平均數(shù)（特別是加權(quán)平均數(shù)）刻畫數(shù)據(jù)并對問題做出決策.

學(xué)習(xí)就是學(xué)生個體在與情境的持續(xù)互動中，不斷解決問題和創(chuàng)生意義的過程.通過“數(shù)學(xué)文化”背景下的中考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的測評，引領(lǐng)數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)有機結(jié)合，使數(shù)學(xué)文化的傳承性、實踐實用性能展示出來，讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)文化”及“數(shù)學(xué)應(yīng)用”中不斷交互，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中對數(shù)學(xué)知識、方法、精神等有更好的理解，從而滋生愛國、愛數(shù)學(xué)的情感，實現(xiàn)“立德樹人”的基本要義.