瓶子注水過程中空氣柱振動發聲的頻率特性研究

高孫浩，陳晨，李昕淼，吳建光，鄒勇

瓶子注水過程中空氣柱振動發聲的頻率特性研究

高孫浩1，陳晨2，李昕淼2，吳建光2，鄒勇2

（安徽工業大學 1. 電氣學院，2. 數理學院，安徽 馬鞍山 243000）

建立了瓶子在注水過程中的發聲模型，理論分析獲得了確定邊界條件下的解，通過實驗驗證了模型的正確性．研究發現，瓶子發聲主要是由空氣柱振動產生，瓶口處發出的聲音含有多種頻率．頻率只能取一系列分立的值并且與空氣柱長度成反比．

空氣柱；頻率；聲音特征

日常生活中，用暖水瓶灌開水時，憑聲音就可以知道暖水瓶是否將要灌滿，這種現象被稱作“暖水瓶唱歌”．簡單的現象背后蘊含著深刻的道理，值得做深入地研究．在2017年國際青年物理學家錦標賽（YIPT）的題目中，其中一題就是類似于管樂器諧振腔結構裝置的聲音參數影響因素分析．隨后在2019年，YIPT的第5題“填充瓶子”研究的是瓶子在注水時，影響聲音特性改變的相關參數．這2道題目都是研究容器內發聲問題．聲學一直吸引著廣大研究者的興趣[1]，從音樂中的諧振動[2-4]到航空中非諧振動[5-6]，人們對發聲問題的研究從未間斷．例如：大家所熟識的管樂器，其實質都是通過按壓不同的音孔來改變腔內空氣柱的長短，從而使空氣柱以不同的頻率振動產生不同的音調[7]．空腔也是一種常見的飛行器結構，在高速來流條件下，空腔流致噪聲會對飛行器性能造成嚴重影響[8-9]．本文根據“填充瓶子”裝置模型，探究水瓶發聲問題原理，建立理論模型，然后得到振動方程，通過理論分析獲得確定邊界條件下的解，最后通過實驗驗證模型的適用性．

1 填充瓶子時聲音特性的理論分析

“填充瓶子”題目為：當垂直的水柱進入瓶子時，可能會產生聲音，并且，隨著瓶子被填充，聲音的特性會改變．探究此系統的相關參數，如水柱的速度與尺寸，瓶子的大小與形狀或水溫等對聲音的影響．

首先，確定聲音的來源．眾所周知，振動的物體可以發出聲音．本題中聲音的來源可以是瓶子本身、瓶子中的水柱和瓶子中的空氣柱．這3種物體都可以看作連續的彈性介質，由于“注水”這個擾動，使它們振動，最后通過空氣傳播，發出聲音．彈性介質內媒質元振動的傳播過程，類似于多個彈簧振子相互串聯耦合而成的鏈形系統．對于空氣和水等理想流體媒質中聲振動傳播的方向與媒質元振動方向相同，即為縱振動．

整理后可寫為

進而得到空氣柱或水柱作縱振動時的簡正頻率為

式（7）說明，在空氣柱或水柱中傳播的聲振動的頻率只能是一系列分立的值．由此可得，媒質中各點的振動位移為

式（8）是一系列駐波方程的疊加，一端為波節，另一端為波腹．

值得一提的是，方程（4）和從理想流體的3個基本方程得到的一維小振幅聲波的波動方程在形式上是一樣的．但方程（4）的推導過程較為簡潔，聲壓隨時間和空間的變化關系[10]為

2 實驗驗證及結果分析

實驗裝置見圖2，主要包括帶閥門的儲水容器、鐵架臺、載物臺、各類瓶子、測頻耳機、聲頻分析軟件Adobe Audition CS6等．

在注水過程中，利用軟件采集到的量筒聲音特征圖譜（見圖3），水平方向為時間軸，豎直方向為頻率，顯示區域的亮度表示振動的幅度．由圖3發現，顯示區出現一系列等間隔的條紋，驗證了分立波的傳播．分析瓶子發聲的主要來源．若聲音來自瓶子及水柱[12]，隨著注水的進行，水柱的長度逐漸變長，由公式（7）可得，頻率會降低，音調降低．若聲音是由液面上方的空氣柱發出，空氣柱的長度越來越短，音調越來越高．實驗發現，當水柱注入容器時會產生聲音，并且聲音隨著水面的升高而變得尖銳．說明采集到的聲音主要是由空氣柱振動產生的．

圖2 實驗裝置

圖3 量筒聲音特征圖譜

在某一瞬間，水滴落在液面上激發空氣柱振動，這種激勵是復雜的多頻振動，利用傅里葉變換可以展開為無限多種諧振動的疊加，每一個頻譜成分都能在空氣柱中形成相應的駐波[13]．其中頻率滿足公式（7）的頻譜成分在管口處都恰好對應駐波的波腹，形成共振．因而管口處的空氣通過振動都能向外發出相應頻率較強的聲音．可見，此時瓶口處發出的聲音含有多種頻率．頻率最低的基音，能量一般最大，在圖上顯示一條最亮的條紋．

在對量筒注水的過程中，結合測頻軟件得到基頻隨空氣柱的變化關系，發現理論和實驗吻合很好（見圖4）．除量筒外，選取500 mL的廣口瓶、細口瓶、錐形瓶進一步實驗．實驗結果見圖5．

圖5中點虛線表示實驗值，點實線表示由公式（7）計算的結果．對廣口瓶，實驗值和理論值接近，這是由于廣口瓶粗細比較均勻，和量筒情況類似．對于細口瓶和錐形瓶而言，雖然由公式計算的結果和實驗結果隨空氣柱體積的變化趨勢一致，但其結果均大于實驗值，這是由于管體形狀、管口厚薄及有無突沿等各不相同，因此需對空氣柱長度進行校正[14]．對比3種容器發聲頻率的理論值與實驗值，應用簡單的諧振方程不能充分解釋不同形狀瓶子的發聲規律，但該模型為后續實驗提供了研究方向，將另文討論．

圖4 頻率隨空氣柱長度變化曲線

圖5 頻率隨空氣柱體積變化曲線

3 結論

針對瓶子在注水過程中的發聲問題，建立了簡化的理論模型，通過理論分析獲得了確定邊界條件下的解，最后通過實驗驗證了模型的正確性．研究發現，瓶子發聲主要是由空氣柱振動產生，瓶口處發出的聲音含有多種頻率．頻率只能取一系列分立的值并且與空氣柱長度成反比．

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Sound frequency characteristics of air column vibration in the process of bottle filling with water

GAO Sunhao1，CHEN Chen2，LI Xinmiao2，WU Jianguang2，ZOU Yong2

（1. School of Electrical and Information Engineering，2. School of Math and Physics，Anhui University of Technology，Ma′anshan 243000，China）

A sound model of the bottle during the water injection process is established，and the solution under certain boundary conditions is obtained through theoretical analysis．Experiment result proves the validity of the model．It is found that what mainly makes the bottle sound is the air vibration．And the sound coming out of the bottle mouth place has multiple frequencies，which can only take a series of discrete values and is inversely proportional to the length of the air column．

length of the air column；frequency of sound；sound characteristics

O4-34∶O422.6

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.008

1007-9831（2020）10-0031-04

2020-05-20

安徽高校自然基金重點項目（KJ2018A0051）；安徽工業大學教學研究項目（2018jy41）；安徽工業大學省級大學生創新訓練計劃項目（201810360349，201810360351）

高孫浩（1999-），男，安徽當涂人，在讀本科生．E-mail：ahutgsh@163.com

鄒勇（1981-），男，安徽太和人，講師，博士，從事大學物理教學研究．E-mail：zyay2004@163.com