一類具有logistic增長的隨機SIRS傳染病模型的平穩分布和滅絕性

杜金姬，秦闖亮

一類具有logistic增長的隨機SIRS傳染病模型的平穩分布和滅絕性

杜金姬，秦闖亮

（信陽學院 數學與信息學院，河南 信陽 464000）

研究了一類具有logistic增長的隨機SIRS傳染病模型．通過Lyapunov函數法，證明了模型全局正解的存在唯一性．給出了模型正解存在平穩分布以及疾病滅絕的充分條件．

SIRS模型；平穩分布；滅絕性；logistic增長

1　引言及預備知識

從Kermack和Mckendric[1]先驅工作后，數學模型被廣泛應用于描述疾病的傳播和控制．各種隨機形式的流行病模型被建立和研究[2-8]．在傳染病模型中，人口的增長采用logistic增長更符合實際．本文考慮一類具有logistic增長的隨機SIRS傳染病模型

2 全局正解的存在唯一性

為了分析系統（1）的長期行為，證明系統（1）存在唯一的全局正解．

下面的證明類似文獻[3]．證畢．

3 平穩分布的存在性

平穩分布的存在性可以看作系統的隨機弱穩定性，即疾病將長期存在．

考慮積分方程

引理２中相關符號含義見文獻[9]，這里不再贅述．

由式（5）~（7）可知

4　疾病的滅絕性

證明在一些假設條件下，疾病將滅絕．

5 結語

本文研究了一類具有logistic增長的隨機SIRS傳染病模型，通過構造適當的Lyapunov函數證明了模型存在唯一的全局正解，給出了模型正解存在平穩分布和滅絕的充分條件．

[1] Kermack W O，McKendrick A G．Contributions to the mathematical theory of epidemics-I[J]．Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Sci，1927，115（772）：701-721

[2] Zhang X，Liu X．Backward bifurcationn of an epidemic model with saturated treatment function[J]．Math Anal Appl，2008，348： 433-437

[3] Wang L，Zhou D，Liu Z，et al．Media alert in an SIS epidemic model with logistic growth[J]．Biol Dyn，2017，11（1）：120-137

[4] 傅金波，陳蘭蓀．具有垂直傳染和接觸傳染的傳染病模型的穩定性研究[J]．數學雜志，2016，36（6）：1283-1290

[5] 張林，李存林，郭文娟．基于媒體報道下的一類SIRS傳染病模型研究[J]．數學雜志，2018，38（5）：887-895

[6] 石月蓮，李燦．一類具有logistic增長和飽和發生率的SIRI傳染病模型的全局動力學性態[J]．數學的實踐與認識，2019，49（7）： 299-307

[7] 穆宇光，徐瑞．一類具有飽和發生率和復發的隨機SIRI模型的穩定性[J]．應用數學，2019，32（3）：570-580

[8] 趙英英，胡華．帶有標準發生率和信息干預的隨機SIRS傳染病模型的滅絕性和平穩分布[J]．應用數學，2018，31（3）：704-713

[9] Knasminskii R．Stochastic Stability of Differential Equations[M]．Berlin：Springer Science and Business Media，1980

[10] MAO X R．Stochastic Differential Equationss and Applications[M]．Chichester UK：Horwood Publishing，2007

Stationary distribution and extinction of a stochastic SIRS epidemic model with logistic growth

DU Jinji，QIN Chuangliang

（School of Mathematics and Information，Xinyang College，Xinyang 464000，China）

A class of stochastic SIRS epidemic model with logistic growth was researched．The existence of a unique of the globel positive solution of the model was proved by using the Lyapunov function method．The sufficient conditions for the existence of a stationary distribution of the positive solutions to the model and the extinction of the disease were obtained．

SIRS model；stationary distribution；extinction；logistic growth

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.004

1007-9831（2020）10-0013-05

2020-05-01

河南省高等學校重點科研項目（20B110017）；信陽市規劃項目（2019TS010）；信陽學院資助項目（2018LYB02，2018LYB09）

杜金姬（1981-），女，河南許昌人，講師，碩士，從事生物數學研究．E-mail：djj168qcl@163.com