川東北嘉四段—嘉五段地層巖石力學參數(shù)不確定性研究

韓偉民， 閆相禎*， 閆怡飛

(1.中國石油大學(華東)儲運與建筑工程學院， 青島 266580； 2.中國石油大學(華東)機電工程學院， 青島 266580)

川東北某氣田的四十臂井徑儀檢測結果顯示，30口井均出現(xiàn)了套管變形現(xiàn)象[1]，且這些套損段集中位于三疊系嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層。雖然針對該地層的鹽巖和膏巖的巖石力學性質已有單獨研究[2-3]，但由于該地層地質特征復雜，多種巖石夾層共生，無法準確將各特定巖石種類進行分層處理，因此可考慮將嘉陵江嘉四段—嘉五段地層視為統(tǒng)一體，目前針對該地層整體力學特性仍鮮有研究。準確地獲取地層巖石力學性質對分層地應力求取、井壁穩(wěn)定性分析、鉆井液設計、壓裂設計及套管強度設計等方面都具有非常重要的意義，尤其是套損現(xiàn)象普遍出現(xiàn)的嘉陵江嘉四段—嘉五段地層。

常規(guī)的地層巖石力學性質分析，通常是在室內試驗的基礎上對結果采用隨機統(tǒng)計法進行分析，利用巖石力學參數(shù)的平均值、標準差及變異系數(shù)反映地層特性[4]。江權等[5]針對室內試驗得到的特定種類巖石力學參數(shù)樣本進行了假設檢驗和擬合優(yōu)度分析，確定了各特定種類巖石力學參數(shù)的最優(yōu)概率分布形式。由巖體本身非均質結構引起的材料性質的不確定性、地層邊界的不確定性、地層中應力狀態(tài)的不確定性等都會造成巖石力學參數(shù)的隨機性和不確定性[6]，且室內試驗得到的數(shù)據(jù)量通常較少，采用平均值對巖石力學性質進行描述會導致結果缺乏規(guī)律性的整體認識和大量誤差的存在。而利用油氣井聲波測井資料則可以獲得隨深度變化的連續(xù)巖石力學參數(shù)，采用概率統(tǒng)計方法對其隨機性和不確定性進行分析，則能更合理、更準確地對巖石力學性質進行描述，以便更有效地分析巖石的變形破壞特征和地層的力學特性。Deo等[7]、Simangunsong等[8]和Nejati等[9]認為由于天然材料的不確定性和可變性，儲層巖石力學性質的確定性分析是不合理的，并采用多元線性回歸方法和Monte Carlo模擬對儲層巖石動態(tài)彈性力學參數(shù)的不確定性和可靠性進行了分析。但上述研究對象為儲層巖石的動態(tài)彈性力學參數(shù)，并未針對靜態(tài)彈性力學參數(shù)及強度參數(shù)進行分析，且未考慮測井資料解釋得到的巖石力學參數(shù)同樣存在的離散性導致的誤差。

鑒于此，以川東北某氣田三疊系嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的巖石力學參數(shù)為研究對象，首先通過該地層多口井的聲波測井資料得到彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度、內聚力等巖石力學參數(shù)大樣本數(shù)據(jù)，采用隨機-模糊統(tǒng)計法對其進行分析以剔除異常值，得到具有真實性和代表性的樣本數(shù)據(jù)，進而采用假設檢驗的方法，對嘉陵江嘉四段—嘉五段地層彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內聚力等巖石力學參數(shù)的隨機分布特征和最優(yōu)概率密度函數(shù)進行研究。

1 巖石力學參數(shù)樣本的獲取

巖石力學參數(shù)的獲取途徑主要有室內物理試驗和聲波測井解釋兩種方法。在不同應力路徑加載下對巖心進行多組試驗以獲得其應力-應變曲線及破壞特征，該方法成本相對較高且獲得的樣本數(shù)量相對較少，由于巖石的固有屬性導致巖心試驗得到的數(shù)據(jù)帶有顯著的離散性，并不能準確地反映具有一定厚度的地層力學特性。而聲波測井解釋方法可以通過測井資料計算得到大量連續(xù)的巖石力學參數(shù)，可以很好地反映連續(xù)深度地層的力學特性[10]。

1.1 巖石動態(tài)彈性參數(shù)

假定地層巖石為均質和各向同性的線彈性體，則依據(jù)牛頓第二定律和胡克定律，聲波速度在巖石介質中傳播的運動方程為

(1)

對式(1)中的X、Y、Z求偏導數(shù)并進行整理可得：

(2)

求解可得巖石介質中的縱波和橫波的傳播速度VP和VS：

(3)

(4)

根據(jù)彈性力學參數(shù)K、G、Ed之間的關系，推導可得聲波速度與巖石動態(tài)楊氏模量、動態(tài)泊松比之間的關系式為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Ed為巖石動態(tài)楊氏模量；λd為巖石動態(tài)泊松比；ΔtS為橫波時差；ΔtP為縱波時差。

1.2 巖石動靜態(tài)彈性參數(shù)的關系

石油工程實際應用中普遍采用巖石的靜態(tài)彈性參數(shù)，巖石的礦物組成、應力環(huán)境和溫度等決定了巖石靜力學參數(shù)的波動性和不連續(xù)性。而通過上述理論分析可以得到隨深度變化的大量連續(xù)的巖石動力學參數(shù)，因此有必要研究巖石動靜態(tài)彈性系數(shù)的變化規(guī)律及動靜態(tài)彈性系數(shù)間的相互關系。鐘自強等[11]進行室內力學試驗得到某地區(qū)礫巖的靜態(tài)巖石力學參數(shù)，通過將測井數(shù)據(jù)與其統(tǒng)計擬合構建了巖石力學參數(shù)的測井預測模型；李凱等[12]通過對巖心進行力學測試，結合巖石刻度測井建立了川西須二段地層的動靜態(tài)巖石彈性參數(shù)轉換模型；徐浩等[13]對川西須五段的砂、泥巖進行了巖石力學測試，并利用測井數(shù)據(jù)擬合給出了巖石彈性參數(shù)的動靜轉換公式。綜合考慮前人研究成果并參考川東北某氣田嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石室內試驗結果，確定的巖石動靜態(tài)彈性參數(shù)間的轉換關系式為

Es=0.522 3Ed+6.390 7

(9)

λs=1.279 1λd-0.175 2

(10)

式中：Es為巖石靜態(tài)楊氏模量；λs為巖石靜態(tài)泊松比。

1.3 基于測井資料的巖石力學參數(shù)解釋

測井結果顯示，三疊系嘉陵江組為海相沉積地層，碳酸鹽巖與膏鹽地層組合。其中嘉陵江嘉四段—嘉五段巖性以灰白色硬石膏巖、白色鹽巖、灰白色膏鹽巖為主，夾灰色灰質白云巖、深灰色、灰色白云巖、膏質灰?guī)r、泥灰?guī)r。表1為該地層段A1井部分深度的測井資料。利用式(5)～式(8)給出的測井資料與巖石動態(tài)彈性參數(shù)之間的轉換關系，對A1井的嘉陵江組嘉四段—嘉五段4 528～4 786 m地層測井數(shù)據(jù)進行計算，得到該地層段動態(tài)巖石力學參數(shù)，而后再利用式(9)、式(10)計算得到該地層段的靜態(tài)巖石力學參數(shù)，如表2所示。圖1為A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段4 528～4 786 m地層彈性參數(shù)解釋成果。

表1 A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段部分深度測井資料

表2 A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段部分深度動靜態(tài)巖石力學參數(shù)

由于地質構造復雜，嘉陵江組嘉四段—嘉五段厚度分布不均勻，為了能夠對該地層巖石力學性質進行全面分析，利用同樣方法對同屬于該地層段的A2井4 606～4 990 m、A3井4 789～5 280 m、A4井3 983～4 196 m和A5井4 064～4 539 m測井資料同時進行計算，得到嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內聚力等巖石力學參數(shù)大樣本。圖2為A2、A3、A4、A5井的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層不同靜態(tài)彈性參數(shù)隨深度變化趨勢。

2 基于隨機-模糊統(tǒng)計法的樣本分析

由于數(shù)據(jù)的離散性和隨機性會導致異常值的出現(xiàn)，嚴重影響統(tǒng)計結果的準確性，使概率分布特征失去代表性和真實性，因此有必要對大樣本數(shù)據(jù)進行粗差處理，得到平均值、標準差、變異系數(shù)和修正系數(shù)描述樣本數(shù)據(jù)離散程度等基本特征。對于巖石力學指標，常用的粗差處理方法有：隨機統(tǒng)計法、3σ(σ為樣本標準差)法、Grubbs法和隨機-模糊法。孫立川等[14]認為傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法不適于處理巖石力學參數(shù)樣本的模糊性，而隨機-模糊統(tǒng)計方法考慮了數(shù)據(jù)的空間變異性，在保留了全部試驗數(shù)據(jù)信息的基礎上，不會被少數(shù)異常值所干擾，更加適合處理巖石力學參數(shù)的大樣本數(shù)據(jù)，以剔除數(shù)據(jù)中的異常值。

圖1 A1井嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層彈性參數(shù)解釋Fig.1 Logging interpretation of Jia-4—Jia-5 Interval of Jialingjiang Formation of well A1

(11)

巖石力學參數(shù)樣本的方差表達式為

(12)

式(12)中：σ2為巖石力學參數(shù)樣本的方差；g2為權值；

圖2 A2井、A3井、A4井和A5井的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層靜態(tài)彈性參數(shù)隨深度的變化趨勢Fig.2 The variation trends of static elastic parameters with depth in Jia-4—Jia-5 interval of Jialingjiang formation of well A2, well A3, well A4 and well A5

變異系數(shù)δ的表達式為

(13)

式(13)中：δ為巖石力學參數(shù)樣本的變異系數(shù)；σ為巖石力學參數(shù)樣本的標準差。

統(tǒng)計修正系數(shù)rs表達式為

(14)

式(14)中：rs為巖石力學參數(shù)樣本的統(tǒng)計修正系數(shù)。

巖石力學參數(shù)的標準值fk的表達式為

(15)

式(15)中：fk為巖石力學參數(shù)樣本的標準值。

利用式(11)～式(15)，對圖1、圖2中給出的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內聚力大樣本數(shù)據(jù)進行隨機-模糊統(tǒng)計分析，結果如表3所示。

從表3可以看出，各參數(shù)樣本值都具有明顯的離散性，其中單軸抗壓強度的離散程度最高，超過了0.3；內聚力次之，泊松比的離散程度最小，分布最為集中。

表3 嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石力學參數(shù)隨機-模糊統(tǒng)計分析結果

3 巖石力學參數(shù)的不確定性分析

3.1 假設檢驗

通常情況下巖石力學參數(shù)近似服從于某一種經(jīng)典概率分布形式，但是根據(jù)已有的樣本信息無法準確斷定最優(yōu)概率分布形式。巖石力學參數(shù)主要的分布形式有：正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布，正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布這3種概率分布形式基本囊括了含有不確定因素的各種概率運算形式[16]，具體如表4所示。

表4 3種經(jīng)典概率分布形式

為了確定各巖石力學參數(shù)最優(yōu)的概率分布形式和概率密度函數(shù)，采用假設檢驗方法來考察各巖石力學參數(shù)對于上述三種經(jīng)典概率分布形式的擬合優(yōu)良程度，常用的分布假設檢驗方法包括：χ2檢驗、Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗、Anderson-Darling(A-D)檢驗和Cramer-von Mises(C-M)檢驗等[17]。其中單樣本K-S檢驗是用來研究樣本觀察值的經(jīng)驗分布形式與設定的理論分布形式之間的差異程度是否顯著的擬合優(yōu)度檢驗方法，它主要用于有計量單位的連續(xù)和定量數(shù)據(jù)，不用對數(shù)據(jù)進行分組而直接對原始的n個觀測值進行檢驗，對數(shù)據(jù)的利用更為完整，對尺度化不敏感且適用范圍非常廣泛。K-S 檢驗方法的具體步驟為：①提出假設H0:Sn(x)=F0(x)，其中Sn(x)為隨機樣本觀察值的累積概率分布函數(shù)，F(xiàn)0(x)為設定的理論累積概率分布函數(shù)；②計算Dn=|Sn(x)-F0(x)|，Dn為兩條曲線之間的距離，即兩組數(shù)據(jù)間的偏離程度；③在顯著性水平α下，若Dn,max=max{|Sn(x)-F0(x)|}

圖3 K-S假設檢驗原理Fig.3 Principle of K-S hypothesis test

3.2 結果分析

彈性模量和泊松比是反映巖石變形能力的基本彈性參數(shù)，抗壓強度、抗剪強度、內聚力是反映巖石承受載荷特性的基本強度參數(shù)。由于嘉陵江組嘉四段-嘉五段地層巖性的復雜性，其彈性參數(shù)和強度參數(shù)存在較大的離散性。因此對其進行概率統(tǒng)計分析掌握其總體分布形式，對于井壁穩(wěn)定性分析或鉆井設計都有重要意義。

基于上述各巖石力學參數(shù)樣本的隨機-模糊統(tǒng)計分析結果，在顯著性水平為α=0.05即置信水平95%條件下，進一步采用K-S假設檢驗方法分別對正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布這3種分布形式進行擬合優(yōu)度檢驗，檢驗結果如表5所示。

表5 巖石力學參數(shù)K-S假設檢驗結果

3.2.1 彈性參數(shù)假設檢驗結果分析

由表5可知，嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性參數(shù)對正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布均不接受假設，只接受威布爾分布，因此其彈性參數(shù)最優(yōu)概率分布形式為威布爾分布。嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石彈性參數(shù)的統(tǒng)計直方圖及其概率分布形式如圖4、圖5所示。

圖5 泊松比統(tǒng)計直方圖及概率分布形式Fig.5 Statistical histogram and probability distribution of Poisson’s ratio

擬合得到的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石彈性模量和泊松比的累積概率分布函數(shù)(cumulative distribution function，CD)表達式分別為式(16)、式(17)所示：

(16)

(17)

3.2.2 強度參數(shù)假設檢驗結果分析

由表5可知，嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的強度參數(shù)對正態(tài)分布、威布爾分布均不接受假設，只接受對數(shù)正態(tài)分布，因此其強度參數(shù)最優(yōu)概率分布形式為對數(shù)正態(tài)分布。嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石強度參數(shù)的統(tǒng)計直方圖及其概率分布形式如圖6、圖7所示。

圖6 單軸抗壓強度統(tǒng)計直方圖及概率分布形式Fig.6 Statistical histogram and probability distribution of uniaxial compressive strength

圖7 內聚力統(tǒng)計直方圖及概率分布形式Fig.7 Statistical histogram and probability distribution of cohesion

擬合得到的嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層巖石單軸抗壓強度和內聚力的CDF表達式分別為式(18)、式(19)：

R2=0.999 3

(18)

R2=0.999 4

(19)

圖4～圖7中兩條虛線之間的范圍即為置信水平為95%的巖石力學參數(shù)分布區(qū)間。其中95%置信水平下的嘉陵江嘉四段—嘉五段地層彈性模量分布區(qū)間為[18.35 GPa，47.68 GPa]，泊松比分布區(qū)間為[0.168，0.332]；95%置信水平下的嘉陵江嘉四段—嘉五段地層單軸抗壓強度分布區(qū)間為[10.74 MPa，33.28 MPa]，內聚力分布區(qū)間為[4.67 MPa，10.31 MPa]。通過對取自該地層的巖心進行室內試驗得到的巖石彈性模量為 19.16 GPa，泊松比為0.260，單軸抗壓強度為 16.5 MPa，內聚力為 7.49 MPa，均在置信水平為95%的分布區(qū)間，也驗證了該分布區(qū)間的合理性。置信水平越高，可靠度越高，但是相應的分布區(qū)間就越大。根據(jù)巖石室內試驗數(shù)據(jù)對不確定性分析結果進行校準可以有效降低巖石力學參數(shù)的不確定性水平，從而提供更加可靠的地層力學特性。通過本文方法計算得到的巖石力學參數(shù)概率分布區(qū)間，更為準確地描述了嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的力學性質，比采用單一的平均值進行分析更接近實際情況；同時也使后續(xù)進行的鉆井設計、套管強度設計和地應力分析等工作更加靈活，從而降低該地層套管變形損壞的風險。

4 結論

(1)嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內聚力都具有明顯的離散性，其中單軸抗壓強度的離散程度最高，超過了0.3；內聚力次之，泊松比的離散程度最小，分布最為集中。

(2)嘉陵江組嘉四段—嘉五段地層的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內聚力大樣本的最優(yōu)概率分布形式并不一致，分別為威布爾分布、威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布。

(3)得到了嘉陵江嘉四段—嘉五段地層置信水平95%的彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度和內聚力的分布區(qū)間，為鹽膏巖地層鉆井設計、地應力分析、套管可靠度計算及井壁穩(wěn)定性研究等提供了數(shù)據(jù)支持。

(4)僅以嘉陵江嘉四段—嘉五段地層為例進行了地層巖石力學參數(shù)的不確定性分析，對于其他儲層或不同區(qū)塊地層，仍然需要依據(jù)測井資料重新對試驗樣本進行計算，并根據(jù)室內試驗數(shù)據(jù)對不確定性分析結果進行校正，以保證地層力學性質的可靠性。