直觀與抽象并行 凸現(xiàn)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)
——以《弧度制》的教學(xué)過(guò)程為例

江蘇省啟東中學(xué) 胡 勇

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和邏輯推理的重要依據(jù)，而概念課的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”目的的重要教育素材。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，弧度制是三角函數(shù)這一內(nèi)容的重點(diǎn)。弧度制這一概念的形成是弧度制教學(xué)中的難點(diǎn)， 2019 年10 月，筆者參加江蘇省優(yōu)課比賽并獲得一等獎(jiǎng)，下面以參賽課題 “弧度制”部分教學(xué)過(guò)程為例，談?wù)剬?duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)和感悟。

一、實(shí)驗(yàn)：直觀感知

PPT 展示圓形蛋糕，經(jīng)過(guò)中心將圓形蛋糕切三刀分成了6 塊，這6 塊大小相差無(wú)幾，現(xiàn)從中挑出最大的一塊，有什么辦法？

問(wèn)題1：在半徑為r 的圓O 中，如何比較∠AOB 與∠COD 的大小，并說(shuō)明理由。

生1：用量角器量角。∠AOB=55.2°，∠COD=62.5°。

師：很好！通過(guò)用量角器直接測(cè)量，這是比較精確的，因?yàn)槲覀兂踔幸褜W(xué)過(guò)角的度量，將一個(gè)圓周角分成360 等份，每一份就叫作1 度，所以周角等于360°，平角等于180°。根據(jù)需要，還可將1°分為60 等份，也就是1°=60'，同理，1'=60"。我們把這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫作角度制。

生2：比較弦AB 和CD 的長(zhǎng)。

師：那你這樣操作的理由是什么呢？

生2：在同圓或等圓中，等弦對(duì)等角，等弦對(duì)等弧。（老師補(bǔ)充完善）

師：很棒！同學(xué)們?cè)诔踔袑W(xué)得很扎實(shí)！那么后兩種方案是在什么前提下完成的？

生：在同圓或等圓中。

師：非常好！我們通過(guò)方案三（生3）可以發(fā)現(xiàn)：在同圓或等圓中，可以用弧長(zhǎng)比較兩個(gè)角的大小(即半徑一定時(shí))。

【設(shè)計(jì)意圖】 數(shù)學(xué)源于生活，對(duì)生活中的深刻研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最自然的來(lái)源。結(jié)合情境，讓學(xué)生直觀感知，抽象出數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、合作交流來(lái)比較∠AOB 與∠COD 的大小，重溫了角度制，對(duì)同圓或等圓中的弦、弧、圓心角之間的關(guān)系進(jìn)行了回顧，培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模的能力。

二、引導(dǎo)：實(shí)踐應(yīng)用

做一做：在下圖中寫出各特殊角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。

例題：請(qǐng)將下表中的弧度和角度互化。

-3.5角度 252° -11°15'弧度

【設(shè)計(jì)意圖】 強(qiáng)化弧度與角度之間的互化，一方面幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，正確進(jìn)行弧度與角度的互化，熟記特殊角的弧度數(shù)；另一方面，通過(guò)規(guī)范化思考問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

師：同學(xué)們，我們剛才進(jìn)行了角度制和弧度制的互化，初中我們學(xué)習(xí)過(guò)扇形的弧長(zhǎng)和面積公式，那么現(xiàn)在學(xué)習(xí)了弧度制，這些公式又是怎樣的呢？

三、教學(xué)感悟

1.精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，感悟概念的本原與發(fā)展

根據(jù)建構(gòu)主義理論，建立在真實(shí)事件或真實(shí)問(wèn)題上的概念生成，不僅能夠激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對(duì)學(xué)生更具有感染力。所以對(duì)概念的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)是有具體背景的，通過(guò)合適的問(wèn)題情境，讓學(xué)生感悟問(wèn)題的本原和數(shù)學(xué)表達(dá)的意義。本節(jié)課從“切蛋糕挑出一塊最大的”生活場(chǎng)景引入，親切自然，讓學(xué)生通過(guò)直觀感知抽象出數(shù)學(xué)模型。對(duì)于弧度制的概念，不是直接呈現(xiàn)給學(xué)生，避免學(xué)生感到生硬、“無(wú)中生有”的感知，而是通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、合作交流，讓學(xué)生體會(huì)各種不同比較角的大小的方法，逐步領(lǐng)悟角的大小與弧長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系，讓學(xué)生感受到弧度制衡量角的大小的科學(xué)性和實(shí)用性，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和好奇心的同時(shí)，提高學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的數(shù)學(xué)理解，為新知搭建橋梁，促使學(xué)生順理成章地進(jìn)入弧度制概念的探究中。

2.注重思維提升，發(fā)揮學(xué)習(xí)的自主性和能動(dòng)性

充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和能動(dòng)性，學(xué)習(xí)才能高效發(fā)生。 本節(jié)課在學(xué)生探究出弧度制的概念后，由于新的度量角的系統(tǒng)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常陌生，已有的角度制在學(xué)生頭腦中根深蒂固，只知道一個(gè)角是多少度，怎么能夠用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示角呢？為了扭轉(zhuǎn)學(xué)生這種認(rèn)知上的沖突，讓學(xué)生逐漸接受新的概念，并將新概念融入原有認(rèn)知架構(gòu)中，如通過(guò)具體的半徑與弧長(zhǎng)，讓學(xué)生親手操作，體會(huì)弧度制這一新的度量角的系統(tǒng)，熟悉熟練用實(shí)數(shù)表示角的大小；通過(guò)量角器，讓學(xué)生感受弧度制、弧度制與角度制的互化，進(jìn)一步加深對(duì)概念本質(zhì)的熟悉理解。在此環(huán)節(jié)中，提倡學(xué)生敢想、敢做、敢說(shuō)，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和能動(dòng)性，學(xué)生思維極度活躍，踴躍提出自己的觀點(diǎn)，享受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的喜悅，最大限度地讓學(xué)生在體驗(yàn)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)技能，體驗(yàn)其中蘊(yùn)含的發(fā)現(xiàn)，提升學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，達(dá)成核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)

對(duì)學(xué)生而言，弧度制概念的難點(diǎn)在于“為什么可以這樣規(guī)定？”為了讓學(xué)生突破這些困惑，教學(xué)中，弧長(zhǎng)與半徑的比值為定值沒(méi)有直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生從一些生活場(chǎng)景中自主發(fā)現(xiàn)，滲透用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的核心素養(yǎng)。本節(jié)課的探究過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的很好素材，踐行數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的背后，是培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。這是學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)其終身發(fā)展需要的關(guān)鍵能力，是“數(shù)學(xué)育人”的關(guān)鍵所在。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，由于學(xué)生思維的高度參與，課堂充滿了活力，學(xué)生對(duì)弧度制的本質(zhì)有了更深刻的理解，學(xué)生思考問(wèn)題的意識(shí)、角度、方法和能力都會(huì)得到提升。我想，數(shù)學(xué)課除了應(yīng)該教給學(xué)生知識(shí)，還應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)背后的智慧，教育的本質(zhì)是知識(shí)遺忘之后剩下的全體。