奇妙的“三線合一”

文 南京師范大學第二附屬初級中學八（9）班 徐春陽 魏詩茹

等腰三角形“三線合一”的性質為我們解決問題提供了一個添加輔助線的方向。下面結合一道題目和大家談談我們的體會。

【問題情境】如圖1，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中點。若過點D作DM⊥DN，DM、DN分別交AB、AC于點M、N，求證：DM=DN。

該題欲證DM=DN，則需構造全等三角形，連接AD，證明△AMD≌△CND即可。

【舉一反三】如圖2，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中點，P是BC上任意一點，且四邊形PEAF是長方形。求證：DE=DF。

解答該題仍需連接AD，證明△BED≌△AFD即可。

【感悟】對于已知底邊中點的等腰三角形問題，根據“三線合一”，連接頂點和底邊中點是常見的輔助線作法，以此為基礎，可以證明線段相等、直線垂直或角相等。我們再看一題：

如圖3，AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE。

方法一：過點A作AM⊥BC于點M，∵AB=AC，AD=AE，∴根據“三線合一”得：BM=CM，DM=EM，∴BM-DM=CM-EM，即BD=CE。

方法二：過點A作∠BAC的平分線AM交BC于點M，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，此時回到了方法一。

方法三：取BC的中點M，連接AM，∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，此時又回到了方法一。

【感悟】“三線合一”的功能在本題中得到完美展現。所作輔助線看上去是同一條線，但表述不同、含義不同，證明過程就略有區別。本題雖然也可以通過三角形全等來證明，但它“繞路”了。

教師點評

小作者在解決等腰三角形問題時，通過觀察、思考、實踐得到感悟，發現從等腰三角形“三線合一”出發添加輔助線的方法：當有底邊有中點時，連接頂點和中點；當無底邊中點條件時，有時要“構造”底邊中線（底邊上的高、頂角平分線）。解題時有了這樣一種“條件反射”，數學思維就迅捷、連貫，這樣的品質難能可貴。