一題多探 舉一反三

文 劉玉兵

教材習題是專家精心編寫而成的，我們要創(chuàng)造性地用足、用好教材習題。下面以一道習題來舉例說明。

蘇科版數(shù)學教材八（上）第67頁習題2.5第10題：如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在一條直線上。AD與BE相等嗎？證明你的結(jié)論。

【分析】把AD、BE分別放到兩個三角形中，證明三角形全等，再由全等三角形的對應邊相等推出AD=BE。證明過程略。

【探索一】如圖2，在例題的基礎上，設AD與BC交于點F，BE與CD交于點G,AD與BE交于點H，求∠AHB。

【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出 ∠AHB=∠DAC+∠BEC，再由△ACD≌△BCE推出∠DAC=∠EBC，所以∠AHB=∠EBC+∠BEC=∠ACB=60°。

【探索二】△ACF與△BCG全等嗎？

【分析】△ACF與△BCG全等。由∠FAC=∠GBC，AC=BC，∠FCG=∠ACB=60°，利用“ASA”證明。證明過程留給同學們自行探索。

【探索三】如圖3，連接FG，△FCG是什么特殊的三角形？

【分析】因為△ACF≌△BCG，則CF=CG，又因為∠FCG=60°，根據(jù)“有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形”得出△FCG是等邊三角形。

【探索四】請問同學們，探索三中FG與AE平行嗎？試著證明一下。

【探索五】在探索一的基礎上，如圖4，連接CH，試證明CH平分∠AHE。

【分析】要證明CH平分∠AHE，就是要證明∠AHC=∠EHC，那可以利用“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”這條定理，想辦法證明點C到∠AHE的兩邊距離相等。作CM⊥HE于點M，CN⊥AH于點N。

【方法一】∵△ACD≌△BCE，∴△ACD和△BCE的面積相等，∴AD·CN=BE·CM，∵AD=BE，∴CM=CN，∴點C在∠AHE的角平線上，∴CH平分∠AHE。

【方法二】∠CMB=∠CNA=90°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE。再利用“AAS”證明△CMB≌△CNA，得到CM=CN，∴點C在∠AHE的角平線上，∴CH平分∠AHE。

如果把例題適當改編一下，又會如何呢？

【探索六】如圖5，等腰三角形ABD與等腰三角形BCE，其中AB=BD，CB=EB，∠ABD=∠CBE=α，A、B、C三點在同一條直線上，連接AE、CD。AE與CD是否相等？

【分析】要證明AE與CD相等，只要證明△ABE≌△DBC即可。

【探索七】∠DHA有多少度？試著證明一下。

【探索八】若連接HB，HB平分∠AHC嗎？

【分析】仿照探索五的兩種方法即可證明。

探索六到探索八的證明過程請同學們試著自行探索。一題多問可以激發(fā)我們學習數(shù)學的興趣，打開想象的翅膀，促進我們思維的發(fā)展。愿同學們在學習數(shù)學的道路上，都能成為一個智慧的“探索者”。