幾何直觀在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省常熟市東南實(shí)驗(yàn)小學(xué) 章如軍

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，分?jǐn)?shù)是相對(duì)抽象且比較難以理解的對(duì)象，蘇教版分別在三上、三下、五下、六上四冊(cè)教材中安排了分?jǐn)?shù)知識(shí)的教學(xué)，這些知識(shí)塊都可以借助幾何直觀，通過(guò)形象的方式描述出來(lái)，變抽象為具體，幫助學(xué)生更好地理解和掌握。

一、借助幾何直觀理解分?jǐn)?shù)概念

在概念形成的過(guò)程中，具體的操作活動(dòng)是學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的起點(diǎn)，這種具體的直觀形象會(huì)影響學(xué)生頭腦中概念意象的形成質(zhì)量。有了操作實(shí)踐為保證，豐富、拓展了認(rèn)知表象，學(xué)生就能夠正確理解意義。分?jǐn)?shù)概念中，單位“1”的認(rèn)識(shí)一直是教學(xué)的難點(diǎn)，在三下“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”中，主要教學(xué)的是將幾個(gè)物體看成整體進(jìn)行平均分，教材提供了4 個(gè)小猴分桃子的圖片，引導(dǎo)教師采用幾何直觀幫助學(xué)生理解。教學(xué)過(guò)程如下：

1.認(rèn)識(shí)一盤(pán)桃的。

（1）課件出示：猴媽媽為小猴們準(zhǔn)備了一盤(pán)桃子（4 只）。出示題目中的問(wèn)題：把一盤(pán)桃子平均分給4 只小猴，每只小猴分得這盤(pán)桃的幾分之幾？

（3）我們來(lái)回想一下，我們是把這盤(pán)桃怎么去分的？其中的一份怎么用分?jǐn)?shù)來(lái)表示？誰(shuí)來(lái)完整地說(shuō)說(shuō)？課件出示：把一盤(pán)桃平均分成（）份，每份是這盤(pán)桃的（）。學(xué)生相互交流。

（4）那么這一份（指著另一份）是這盤(pán)桃的幾分之幾呢？學(xué)生交流。

2.深入認(rèn)識(shí)。

（1）猴媽媽又拿來(lái)了一串香蕉，一共有幾根？（8 根）還是要平均分給4 只小猴，應(yīng)該怎樣分？每份是幾分之幾呢？

（2）學(xué)生拿出圓形紙片分一分，并和同桌說(shuō)一說(shuō)。學(xué)生匯報(bào)，課件演示。

（3）比較：

二、借助幾何直觀溝通分?jǐn)?shù)計(jì)算算理

教學(xué)分?jǐn)?shù)計(jì)算的時(shí)候，很多老師往往重算法輕算理，這種做法短時(shí)效應(yīng)很突出，但在后期兩級(jí)運(yùn)算后，學(xué)生缺少對(duì)算理理解的弊端就越發(fā)顯現(xiàn)，將極大地影響學(xué)生的計(jì)算能力。分?jǐn)?shù)的計(jì)算和整數(shù)、小數(shù)的計(jì)算方法有著顯著的差別，但教師可以借助幾何直觀來(lái)幫助學(xué)生理解算理，體會(huì)算法上的不同。

如在六上“分?jǐn)?shù)除法”中教學(xué)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)時(shí)，出示例題：

整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理是個(gè)非常抽象的內(nèi)容，依靠其他方式很難說(shuō)清，借助幾何直觀能夠?yàn)閷W(xué)生的思維架構(gòu)橋梁。這個(gè)例題的教學(xué)借助幾何直觀可以分以下幾個(gè)層次展開(kāi)：

4.抽象概括。觀察等式兩邊兩個(gè)相等的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

這個(gè)教學(xué)過(guò)程是“抽象—直觀—抽象”的過(guò)程，借助直觀的圖形，將抽象的問(wèn)題明了化，在解決問(wèn)題之后，通過(guò)對(duì)比提煉出計(jì)算方法。列出算式，直觀感知結(jié)果，建構(gòu)直觀模型，提煉概括，這個(gè)過(guò)程是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算學(xué)習(xí)的一般過(guò)程。幾何直觀作為抽象的終點(diǎn)，又是抽象的起點(diǎn)，圖形幫助我們找到了正確的結(jié)果，更為主要的是，根據(jù)圖形，使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的算理，溝通其與算法的聯(lián)系。

三、借助幾何直觀厘清分?jǐn)?shù)數(shù)量關(guān)系

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。進(jìn)入分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)后，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的抽象性，更增加了這方面的難度，所以在教學(xué)中更應(yīng)借助幾何直觀，用圖形表達(dá)題意，理解數(shù)量關(guān)系。如六年級(jí)上冊(cè)這道例題：

2.看圖分析，確定解題思路。

3.學(xué)生列式，完成解答。

這道習(xí)題復(fù)雜在有“原來(lái)、下車(chē)、上車(chē)、現(xiàn)在、多了”這5 個(gè)量，量間相互關(guān)聯(lián)，加上又有兩個(gè)分?jǐn)?shù)，就給解題帶來(lái)了很大的困難，學(xué)生在讀題后往往無(wú)從下手，難以厘清數(shù)量關(guān)系，但若能?chē)L試畫(huà)線段圖，就可以使它們之間的關(guān)系一目了然。

四、借助幾何直觀探索分?jǐn)?shù)規(guī)律

將抽象的分?jǐn)?shù)用直觀的圖形表示出來(lái)，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)另辟新徑，發(fā)現(xiàn)內(nèi)中規(guī)律。如在六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”里有這樣一題：

學(xué)生第一次遇到這個(gè)算式的時(shí)候通常都是通分計(jì)算，題目里的數(shù)學(xué)規(guī)律不易被發(fā)現(xiàn)。但借助直觀的圖形，就可以將數(shù)字間的聯(lián)系呈現(xiàn)出來(lái)，為學(xué)生接下去的規(guī)律探索提供可能。教學(xué)可以這樣展開(kāi)：

1.計(jì)算解決，引發(fā)思考。出示題目，學(xué)生計(jì)算后交流，估計(jì)都是通分的方法。提出問(wèn)題：還有沒(méi)有別的方法？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式中數(shù)字間的聯(lián)系。

2.引導(dǎo)畫(huà)圖，感受規(guī)律。出示長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)算式在圖上表示出來(lái)，學(xué)生在畫(huà)圖和交流中體驗(yàn)轉(zhuǎn)化策略，感受規(guī)律。

3.探究延伸，內(nèi)化規(guī)律。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖找到簡(jiǎn)便計(jì)算的方法后，教師繼續(xù)提出問(wèn)題：這個(gè)算式如果還要往后寫(xiě)，接下去的加數(shù)會(huì)是多少？和呢？你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？通過(guò)追問(wèn)，讓學(xué)生主動(dòng)回顧題目特點(diǎn)，進(jìn)一步掌握和運(yùn)用規(guī)律。

用圖形來(lái)表示數(shù)，數(shù)字間原先內(nèi)隱的關(guān)系直觀化了，幾何直觀幫助我們從另一個(gè)角度來(lái)研究分?jǐn)?shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了藏在里面的規(guī)律。

用幾何直觀描述問(wèn)題，用幾何直觀討論問(wèn)題，能夠幫助學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生思維內(nèi)涵，提高基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。