基于Matlab GUI 的李薩如圖形實現方法的研究?

宋 璐 衛亞博 馮艷平

（1.陜西中醫藥大學醫學技術學院 咸陽 712046）（2.平頂山學院 平頂山 467000）（3.鄭州職業技術學院 鄭州 450121）

1 引言

振動的合成，由于是研究聲波、光波和電磁波合成的基礎，所以它是大學物理教學中一個非常重要的內容。而兩個相互垂直的簡諧振動在合成的時候，振動結果是兩個分振動的疊加，在不同情況下形成各種各樣的李薩如圖形，所以其合成的過程比一維振動復雜的多［1～3］。在傳統課堂教學中，由于合成的圖形較為抽象，學生很難理解李薩如圖形的合成過程，需要進行隨堂演示。在各種實現李薩如圖形的方法中，使用最為廣泛的就是利用示波器，但是對于傳統的示波器來說，不僅受到顯示原理的限制，很難觀測到初相位變化時的李薩如圖形，而且由于體積較大，非常不便于攜帶，所以使用起來有一定的局限性［4］。文獻［5］給出了一種使用AVR 單片機實現的李薩如圖形合成器的方法，合成效果良好，但是由于儀器本身的限制，不便于教師和學生隨時隨地的使用。文獻［2］給出了一種使用Matlab程序法實現的李薩如圖形合成方法，但由于對編程基礎有一定的要求，所以也無法推廣到沒有任何編程經驗的學生中去。

為此，設計了基于GUI 的Matlab 程序，不僅能夠實現各種李薩如圖形的仿真，用戶還可根據需要任意修改參數，使系統的可操作性大大提高，除此之外，基于Matlab 程序的可移植性，可以將設計好的程序在任何一個計算機中運行，可供用戶隨時隨地的使用，有助于提高學生對李薩如圖形的理解。

2 李薩如圖的形成原理

李薩如圖是由兩個相互垂直的簡諧振動所合成的，形狀取決于兩個簡諧振動頻率和初相位之間的關系。一般情況下，合振動的軌跡不能形成穩定的圖案，但若兩個分振動頻率成整數比，則合成振動的軌跡就為穩定的曲線，曲線的花樣和分振動的頻率比、初相位有關，得出的圖形叫李薩如圖［7～9］。假設兩個相互垂直的簡諧振動分別用x和y來進行表示，則：

當兩個分振動的振幅和頻率均相等時，合成的結果為橢圓，橢圓的形狀由兩振動的相位差所決定；當兩個分振動的頻率為任意值時，合成的結果就是不穩定且較為復雜的不閉合曲線；而當兩個振動的頻率為整數比時，合成的結果就為穩定的、閉合的曲線圖形，稱為李薩如圖形［10～11］。

3 李薩如圖程序和Simulink實現方法

Matlab 矩陣實驗室是美國MathWorks 公司出品的商業數學軟件，廣泛的應用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境。它以矩陣作為基本數據單位，提供了眾多的工具箱，是通用的科學計算、數值仿真及數據可視化的重要工具［12～15］。

李薩如圖程序實現方法，指的是利用Matlab的.m 文件編程實現李薩如圖形的仿真。假設兩路振動參數分別為振動1 振幅為1V，頻率100Hz，初相位0°；振動2 振幅為1V，頻率200Hz，初相位0°，設計的程序如下：

clear

k=2； %設定頻率的比

w1=2*100*pi； %設定振動1頻率為100Hz

w2=k*w1； %設定振動2頻率為200Hz

t=0：0.0001：6.28；

fa=0；

A1=1； %設定振動1振幅

A2=1； %設定振動2振幅

x=A1*sin（w1*t）； %定義振動1

y=A2*sin（w2*t+fa）； %定義振動2

plot（x，y）

xlabel（‘x’）；

ylabel（‘y’）；

運行后，兩個相互垂直的簡諧振動的合成結果如圖1所示。

圖1 李薩如的程序實現

或者也可以采用Matlab 中所提供的Simulink仿真工具箱，設計一個如圖2 所示的Simulink 仿真框圖，分別設定兩個分振動的參數，點擊運行仿真按鈕，即可實現不同參數情況下李薩如圖形的合成。

圖2 李薩如的simulink實現框圖

設定參數分別為振動1 的振幅為1V，頻率500Hz，初 相 位0rad；振 動2 的 振 幅 為1V，頻 率300Hz，初相位0rad，點擊運行仿真按鈕，仿真結果如圖3（a）所示；若將頻率分別改為500Hz 和400Hz，合成的李薩如圖形如圖3（b）所示。

圖3 李薩如Simulink合成結果

可以看出，當頻率之比為無理數時，其合成的為不穩定且較為復雜為不閉合的曲線，而當它們的頻率之比為有理數時，得到的是一閉合曲線，即為李薩如圖形，與理論分析結果一致。

使用程序法或者是Simulink 仿真法都可以獲得各種情況下的李薩如圖形，但當需要頻繁修改參數時，使用這兩種方法實現仿真就會變得非常復雜，對使用者的要求提高，使得學生這樣的初學者難以獨立完成。所以，如果能針對此開發出通用的圖形用戶交互界面，用戶只需輸入一些參數，就可以獲得各種情況下的李薩如圖形，對于學生來說，將會非常有意義。

4 基于GUI李薩如圖的實現方法

基于Matlab GUI的李薩如圖形實現界面如圖4所示，用戶可以根據需要輸入合適的參數，點擊執行仿真按鈕，即可查看不同情況下的合成結果。

圖4 基于GUI的李薩如圖形的實現

在設計好的GUI軟件中，輸入不同情況下的各個參數，點擊執行仿真按鈕，即可實現各種李薩如圖形的仿真。假設兩振動頻率相同而相位差不同，具體的參數和仿真結果如圖5 所示，可以看出當頻率相同時，兩個相互垂直的振動合成結果為一橢圓，橢圓的形狀由相位差所決定，與理論分析結果一致。

圖5 頻率相同相位差不同的李薩如圖

假設當兩振動相位相同而頻率不同時，具體的參數和仿真結果如圖6 所示，相位不同頻率也不同的情況如圖7 所示。可以看出，當兩個分振動的頻率為任意值時，合成的結果就不穩定且較為復雜的不閉合曲線；而當兩個振動的頻率為整數比時，合成的結果就為穩定的、閉合的曲線圖形，與程序法分析結果一致。

圖6 相位為0°頻率不同的李薩如圖

圖7 相位不同頻率不同的李薩如圖

從以上各種情況下的李薩如仿真結果可以看出，該系統運行穩定，相較于采用程序設計實現李薩如的方法，基于GUI 的方法具有操作簡單，結果直觀清晰的優點。

5 結語

采用Matlab GUI作為仿真平臺，實現了不同參數情況下的李薩如圖形實現方法。通過對不同情況的實驗現象和仿真結果的比較，可以看出該系統運行結果與李薩如圖形形成理論相符，具有響應速度快，操作簡單，結果直觀形象等特點，使得不具備編程能力的學生也可以獨立操作。除此之外，該系統不受儀器和場地的限制，通過改變一些參數即可獲得不同條件下的李薩如圖形，使得理論課堂教學變得生動形象，對促進學生對振動波動的學習有積極的意義，實現了大學物理教學的現代化。