移動機械臂傾覆穩定性分析與優化?

郭永鳳

（陜西國防工業職業技術學院 西安 710300）

1 引言

傳統機械臂的工作空間較為有限，機械臂需要借助螺栓等組件固定在地面上。為了擴大機械臂的應用范圍，提高其應用性能，近年來，移動機械臂（Mobile Manipulator）逐漸興起。移動機械臂將機械臂與移動機器人相結合，極大地增加了機械臂的自由度，使其能夠靈活位移，機械臂的操作性能也得到了提升［1～2］。

在2012 年，Aalborg 大學的學者Simon Bogh 對自主工業移動機械臂的潛在應用市場進行了統計與分析。對物流業、服務業等行業中的500 余任務進行了AIMM 的應用預期統計。結果顯示：在未來，機械臂可以順利完成超過半數的任務。自主工業移動機械臂適用于物流運輸、協助裝配、機械管理、清潔維護等領域，尤其是在物流行業，移動機械臂有極大優越性，因此它是一個重要的技術發展方向［3］。

關于機械臂對移動平臺的力/力矩及其對系統造成的影響這一方面，目前尚缺乏研究成果。機械臂與移動平臺之間的力學規律較為復雜，影響因素眾多，如機械臂的機械構型，機械臂所連接的負載，關節的角速度與角加速度。移動平臺的力/力矩可能產生系統傾覆。傾覆是指對于豎直方向的輪式移動機械臂，其繞傾覆軸線產生向外旋轉，致使系統失控，嚴重時，系統可能翻倒。

在工程實踐中，對于部分機器人，如腿式移動機器人以及履帶式機器人，研究其傾覆穩定性是一個主要課題。對于移動機械臂而言，這一問題同樣不可忽視。保障輪式移動機械臂不發生傾覆與側滑是機械臂操縱的基本前提，也是重要的安全問題。國內外有較多關于移動機器人傾覆問題與滑移問題的研究，但研究機械臂的動力學因素對系統傾覆影響的研究較少。本文重點研究這一方面，分析機械臂與移動平臺之間的力/力矩，探究其動力學因素與影響機理。

2 傾覆穩定性判別

對系統做出以下假設：1）輪式移動機械臂所放置的地面為平面，不考慮地形的起伏情況；2）輪與地面之間的接觸為點接觸，且忽略滾輪的變形情況［4］；3）系統為剛性結構，機械臂的關節、連桿與輪式移動平臺均為剛性。

在通常的研究中，判斷傾覆穩定性的方法是提出一種標識作為傾覆穩定性判據，但該方法無法描述傾覆的動力源的本質。因此本文提出一種新的穩定性判別方法，用傾覆力矩來定量描述傾覆過程。傾覆力矩為造成系統傾覆的力矩，是系統傾覆的根源。

圖1是系統中移動平臺上的力/力矩示意圖，其中橢圓為整個移動平臺，包含滾輪在內。Op為平臺的重心，并且是平臺的中心位置。以Op為原點建立平臺的基坐標系｛XP，YP，ZP｝。gp為包含滾輪在內的整個平臺所受到的重力，mp表示整個平臺的質量。機械臂的一端剛性安裝在OM點，其質量為mr，同時在該點建立機械臂的基坐標系｛XM，YM，ZM｝。移動平臺上的其余附件的安裝在OA點處，其所受到的重力矢量為gA，質量為ma。

圖1 移動平臺上的力/力矩示意圖

假設機械臂關節上的約束力/力矩為w1，相應的機械臂對移動平臺的力/力矩為-w1：

此力/力矩可沿坐標軸X、Y、Z三個方向分解：

移動平臺的下方安裝滾輪，滾輪與地面形成點接觸，所有接觸點形成一個凸包多邊形。多邊形的每兩個相鄰頂點為一條傾覆軸線。移動機械臂的傾覆只會沿傾覆軸線發生［5］。

假設其中的兩個相鄰頂點為npi與npi+1，這兩點構成的傾覆軸線為eii+1。移動平臺基坐標系原點OP到機械臂的基坐標系原點OM的矢量為dM，相應的從點OP到其余附件安裝點OA的矢量為dA。從原點OM到傾覆軸線eii+1的正交矢量為dii+1，從原點OP到傾覆軸線eii+1的正交矢量為lii+1，從原點OA到傾覆軸線eii+1的正交矢量為sii+1。根據圖1，移動機械臂系統的傾覆力矩TOM（Tip-Over Moment）可由式（4）求得：

對于式（4），公式右側第一項表示機械臂對移動平臺的轉矩在傾覆軸線上的投影，第二項表示機械臂對移動平臺的力在傾覆軸線上的力矩，第三項表示移動平臺的重力在傾覆軸線上的力矩，第四項表示附件的重力在傾覆軸線上的力矩。

若輪—地接觸點形成的凸包多邊形含有的頂點個數為n，則傾覆軸線存在n條，因此TOM 數也為n。對于這n個系統傾覆力矩，其中的最大值為TOMmax，對應此值的傾覆軸線承受最大傾覆力矩。系統穩定的條件為TOMmax≤0，此時沒有傾覆力矩。而若TOMmax＞0，系統將發生傾覆，此時系統不穩定。當TOMmax≤0 ，|TOM|為傾覆裕度（Tip-Over Margin）。傾覆裕度表征系統的穩定狀況，|TOM|越大，系統距傾覆越遠；|TOM|越小，系統距傾覆越近。式（4）要包含所有傾覆軸線。

如下介紹兩類移動機械臂。第一類型是靜態不穩定的移動機械臂，如移動機械臂Ballbot，由卡梅隆大學研制而成，此移動平臺僅有一個滾輪（球），其上有一對機械臂，自由度都為2。Ballbot采取兩個閉環控制其穩定性，包括內部閉環與外部閉環。內部閉環采用PI 控制，可改變球的速度。外部閉環則利用線性二次型調節器實現全狀態反饋控制［6］。兩輪移動平臺適用于斜坡、窄路等環境，具有很高的移動性能［7］。喬治亞理工學院研制的Segway RMP200 采用PD 控制達到動態穩定［8］。在Segway RMP200 移動平臺上，研究者裝置了一臺KUKA Light Weight Robot［9］。由馬薩諸塞大學研制的u Bot-5則采用LQR控制器實現系統在運行過程中的穩定性［10］。

第二類型的移動機械臂為靜態穩定的移動機械臂。如Neobotix MM500移動機械臂，含有三個滾輪，用于增廣現實領域的研究。KUKA omni Rob 移動機械臂含有四個全向輪。Little Helper 移動機械臂則有五輪。此類機械臂在靜態時可以達到穩定，但易發生系統傾覆。

在滾輪數量確定的情況下，滾輪有不同的安裝位置方案。本文以輪—地接觸點形成的凸包多邊形是等邊三角形的情況進行討論，結構如圖2 所示。

圖2 等邊三角形滾輪分布

圖2 中，為使設置不失一般性，取原點OP與np1的連線方向為XP軸正方向，其中np1為第一個滾輪與地面的接觸點。r為凸包多變形外接圓的半徑，由正弦定理，可得所有輪—地接觸點的坐標：

npi表示第i個接觸點。由所有相鄰點，可求得傾覆軸線，其單位矢量為

當i等于n時，i+1 則等于1，即最末接觸點與起始接觸點的傾覆軸線單位矢量，以下公式相同。原點OP到eii+1的矢量lii+1為

3 TOM 與ZMP 對比分析

接下來通過分析對比TOM和ZMP來驗證TOM判據的正確性。移動平臺相關實驗參數如表1。

表1 移動平臺參數假定

實驗過程如下：求出TOM判據和ZMP判據在系統靜態、受力平衡靜止狀態和動態情況下得到的結果。然后合并顯示兩種結果，進行對比分析。

對機械臂的每種桿件構型計算此時的TOM值和ZMP值，結果顯示在圖3。

圖3 TOM與ZMP的對比仿真結果

其中，外側的黑色框線指的是移動平臺的傾覆軸線，黑色框線內部區域即是凸包多邊形。

圖3（a）中，點的位置表示通過ZMP判據獲得的系統零轉矩點，顏色反映TOM判據的計算結果的大小，大致范圍在右側標尺標出。由圖像可知，ZMP判據求得的點均位于凸包多邊形內側，即系統始終穩定，對應的所有TOM值均為負。ZMP點從凸包多邊形內部靠近邊界框線時，圖像顏色變紅，TOM值增大，即傾覆裕度減小；反之，遠離邊界時，TOM值減小，傾覆裕度增大。為進一步驗證TOM判據的正確性，保持ZMP計算結果不變，對TOM值進行根據符號的二值化處理，結果如圖3（b）、圖3（a）中顏色對應TOM值符號的正負，圖中紅色區域，TOM值取正時，系統傾覆；圖中綠色區域，TOM值取負值，系統穩定。圖3（b）中，凸包多邊形內的所有點TOM值均為負。因此，在判定系統是否傾覆的問題上，兩種判據得到的結論是一致的，但TOM值還能額外反映系統的傾覆裕度。

4 系統傾覆穩定性分析

機械臂逆解會產生多種可能，此處將機械臂關節空間離散化，即對三個關節的關節角按一定的分辨率（本文選擇分辨率為6°）來離散化得到一系列桿件構型，用桿件構型的合集反映整個工作空間。假設移動平臺為靜止狀態或在勻速運動，忽略加速度對系統動力學的影響。

分析表1 列出的參數，根據參數可將式（4）簡化成如下形式：

mMX和mMY是機械臂作用于平臺的力/力矩-w1在XM與YM兩個方向上的力矩分量；fMZ是-w1在ZM方向上的力的分量；gpz是平臺重力矢量gp在ZM方向上的分量。

利用mMX與mMY取絕對值，可得二者共同作用下的傾覆效用最大的傾覆軸線上的傾覆力矩。優化后的式（10）（僅用于本節的仿真計算）減少了TOM值的計算次數，其值僅為式（4）的1/4，由此可見，式（10）有效提高了計算機仿真的效率。

通過TOMmax的值可以判斷系統是否會發生傾覆，如 果TOMmax＞0 ，系 統 會 傾 覆；反 之，TOMmax≤0，系統是穩定的。之后，可根據mMX與mMY的正負符號判斷系統發生傾覆的旋轉軸，方法如圖4 所示。TOMmax＞0，若mMX＞0 且mMY＞0，mMX和mMY的合力矩使系統繞著傾覆軸線4 發生旋轉，因此系統將繞軸4 發生傾覆。傾覆旋轉軸的判斷方法總結如下表（表2）。

圖4 傾覆軸線的識別

表2 TOMmax ＞0 情況下系統傾覆的旋轉軸判斷

約束力矢量來自于三個連桿的質量（如圖5），即：m3g，m2g和m1g，方向豎直向下，連桿質量同樣是引起約束力矩矢量的因素。例如對第三桿進行分析，XM和YM方向上的力矩就取決于與其重心的水平位置p3XC和p3YC。保持連桿質量不變，fMZ不變，根據上述簡化的式（10），則TOMmax值取決于m1X與m1Y，而m1X與m1Y轉矩分量由連桿重心的水平位置決定。由末端負載引起的約束力/力矩swp1也可類似確定。

圖5 靜態情況下移動機械臂的力/力矩

5 基于傾覆穩定性約束的最短時間軌跡規劃試驗與結果

本節基于飛機（火箭）的蒙皮鉚接工藝需求，分析移動平臺勻速運動時系統傾覆性情況。此時機械臂的關節角、關節角速度和關節角加速度都在不斷變化，系統的TOM值隨之改變，因此，機械臂的軌跡規劃需要以實現TOM值小于零為目標，即系統穩定性為目標。

圖6 飛機/火箭蒙皮鉚接作業的點與路徑

圖7 自適應時間段軌跡規劃與TOM 結果

在飛機/火箭蒙皮鉚接工藝中，機械臂的末端點路徑規劃如下（如圖6 所示）：起始點→1→2→1→3→4→3→5→6→5→7→8→7→9→10→9→11→12→11→起始點。其中，在第一次到達點1、3、5、7、9、11時進行加工預備，在點2、4、6、8、10、12上進行鉆鉚加工，此時機械臂將承受鉚接作業的加工反力。

圖7 顯示的是依據自適應時間段軌跡規劃得到的規劃與TOM的計算結果。整個路徑上的最大TOM值為-137.5Nm，即通過這種方法得到的規劃能夠保證系統全程保持穩定。不考慮打鉚工序的情況下，自適應時間段軌跡規劃方法使總移動時間為8s，比固定時間段軌跡規劃移動時間增加了0.4s，保證了系統穩定性，保障了系統高效性。

6 結語

本文分析了傳統移動機械臂顛覆不穩定的問題，提出了比較合理的優化方法，通過對關節角速度、關節角加速度等主要影響因素的規律分析，給出了合理的軌道規劃方法。通過試驗數據分析，結果表明：系統可以穩定運行，且整體運行時間最短，不易顛覆。