軸向往復運動抽油桿柱在彎曲井眼內橫向振動的仿真模型

王宏博，董世民

(燕山大學機械工程學院，秦皇島 066004)

抽油機舉升是直井與定向井最主要的人工舉升方式[1]。與直井井眼軌道相比，定向井井眼軌道不僅存在較大的井斜角，而且井斜角和方位角還存在較大的變化率，即定向井井眼軌道是一條存在較大彎曲的空間曲線。井眼軌道的傾斜和彎曲導致定向井桿管之間存在較大的接觸力，從而導致桿管產生偏磨。油田生產情況表明，桿管偏磨所造成的抽油桿柱斷脫、油管漏失是定向井檢泵作業的主要原因。因此研究定向井抽油桿柱在油管內的彎曲變形規律、桿管接觸狀態與桿管接觸力的仿真方法具有重要的理論與實際意義。

抽油桿柱在油管內的彎曲變形類似于鉆柱在井眼內的彎曲變形，都可以簡化為細長桿柱在井眼內彎曲變形的力學問題。國內外專家學者對細長桿柱在定向井井眼內彎曲變形的靜力學與動力學問題進行了系統深入的研究。蘇義腦等[2?3]考慮彎曲井眼造成的桿柱初彎曲，基于縱橫彎曲梁理論分析了組合鉆具的彎曲變形規律。文獻[4?6]中在計算抽油桿柱桿管接觸力時，假設抽油桿柱彎曲形態與井眼軌跡重合，通過三角關系計算了桿管之間的接觸力。董世民等[7]通過彈簧有限元模型描述抽油桿柱與油管柱的接觸狀態，建立了定向井抽油桿柱在不同軸向載荷下的彎曲形態仿真模型，實現了對桿管接觸狀態與接觸力的仿真計算。狄勤豐等[8?9]以有限差分法描述桿柱在不同軸向載荷下的彎曲形態，并以此為基礎實現了對桿管接觸力的計算。以上關于桿柱彎曲變形的力學研究均屬于靜力學研究。Yigit[10]考慮鉆柱旋轉建立了鉆柱扭轉與橫向振動的非線性耦合模型，提出轉速是影響鉆柱動態行為的一項主要因素。李子豐等[11]采用有限差分法提出了描述油管柱、抽油桿柱與鉆柱三維振動的通用力學模型。Ghasemloonia 等[12]考慮鉆柱激振器的作用建立了鉆柱的縱橫耦合振動仿真模型，研究了激振器對鉆柱穩定性及接觸行為的影響。Ghasemloonia 等[13]在考慮泥漿阻尼、驅動扭矩以及空間交變軸向載荷激勵的情況下，采用Galerkin’s 法建立了旋轉鉆柱非線性縱橫耦合振動仿真模型。Wang 等[14]考慮油管與套管間的彈性碰撞，綜合應用有限元、能量法與哈密頓原理建立了輸液油管的縱橫耦合振動仿真模型，并采用Newmark 法實現了數值求解。狄勤豐等[9,15?16]采用有限元法分析了具有初彎曲的底部鉆具組合的橫向振動問題與定向井抽油桿柱的橫向振動問題。徐駿等[17?18]采用虛位移原理建立了抽油桿柱在彎曲井眼內的縱橫耦合振動仿真模型，分析了抽油桿柱的桿管偏磨特性。在抽油機井中，上述研究所采用力學模型的實質可以概括為：1)具有初彎曲的抽油桿柱(縱橫彎曲梁)在交變軸向載荷激勵下產生的橫向振動，即交變軸向載荷是抽油桿柱橫向振動的激勵。交變軸向載荷激勵抽油桿柱橫向振動的實質是交變軸向載荷導致抽油桿柱的幾何抗彎剛度隨時間變化，屬于參數激勵的非線性振動問題[19]；2)抽油桿柱在油管內橫向振動的最大位移受油管內壁約束，同時油管內壁對抽油桿柱的碰撞反力也是抽油桿柱橫向振動的激勵。

與鉆井過程中鉆柱的運動特點不同，抽油桿柱存在明顯的軸向往復運動，即存在較大的軸向位移和軸向速度。當抽油桿柱在彎曲井眼內做軸向往復運動時，彎曲井眼對軸向運動的抽油桿柱將產生橫向振動的激勵。即由于抽油桿柱軸向運動的存在，桿管接觸點將發生變化，因此彎曲井眼也是軸向運動抽油桿柱橫向振動的激勵。該問題類似于在凹凸不平路面上行駛車輛上下振動的力學問題[20]。目前關于彎曲井眼激勵的抽油桿柱橫向振動研究未見文獻報道。本文擬綜合考慮彎曲井眼軌道所導致的抽油桿柱初彎曲，并考慮井眼軌道對抽油桿柱橫向振動的激勵，基于彈性體振動理論，建立抽油桿柱在彎曲井眼內的橫向振動仿真模型。

1 橫向振動力學與數學模型

圖1 為抽油桿柱橫向振動力學模型圖。其中圖1(a)為桿管泵結構示意圖。圖中抽油桿柱由一定數量的抽油桿、接箍與扶正器組成。抽油桿柱可以由單一直徑抽油桿組成，也可以由不同直徑抽油桿組成。頂端抽油桿(光桿)相對于井口盤根上下往復運動，井口盤根約束了該處桿柱的橫向位移和橫截面轉角，即在研究桿柱橫向振動時，井口盤根處桿柱可以簡化為可滑動的固定端。井底抽油泵柱塞在泵筒內上下往復運動，泵筒約束了柱塞的橫向位移與橫截面轉角，即桿柱的底端也可以簡化為可滑動的固定端。桿柱所受環境載荷包括：1)作用于柱塞(即桿柱底端)處的交變軸向載荷P(t)；2)軸向分布載荷q(x,t)。軸向分布載荷包括桿柱自重的軸向分量、液體粘滯摩擦力、桿管庫倫摩擦力、桿柱縱向運動的慣性載荷、桿柱縱向振動的振動載荷。桿柱軸向分布載荷q(x,t)既和桿柱的軸向位置有關，又和時間有關；3)橫向分布載荷qub(x,t)，包括桿柱浮重的橫向分量與液體粘滯摩擦力。限于篇幅，交變軸向載荷P(t)、軸向分布載荷q(x,t)的計算方法參考文獻[21]，本文不再贅述。通過機構運動分析，可以建立懸點位移uA(t)的計算模型[21]。

圖 1 抽油桿柱橫向振動力學模型Fig. 1 Mechanical model of SRS transverse vibration

為便于研究，同時也為突出本文的研究重點，做如下簡化和假設：1)抽油桿柱為彈性體，抽油桿柱縱向運動方向與井眼軌道方向相同；2)抽油桿柱為均質單級桿；3)不考慮抽油桿柱縱向振動和扭轉振動對橫向振動的影響，即僅研究抽油桿柱的橫向振動；4)將抽油桿柱簡化為歐拉梁；5)桿柱各橫截面軸力T與桿柱軸線一致，桿柱各截面剪切力Q與桿柱軸線垂直；6)參考文獻[21]，在計算桿柱軸向振動時，將作用于接箍與扶正器處的集中軸向載荷簡化為軸向分布載荷；7)在井口處建立全局坐標描述井眼軌跡的彎曲形態，以靜位置曲線坐標描述井眼軌跡上任意點的位置，以動位置曲線坐標描述抽油桿柱上任意點的位置，通過懸點運動規律描述動、靜坐標之間的關系。

在井口建立O'yz坐標系描述井眼軌跡的彎曲形態。為反映抽油桿柱軸向運動對其橫向振動的影響，分別用動位置曲線坐標與靜位置曲線坐標描述抽油桿柱軸線上任意點的位置。動位置曲線坐標為抽油桿柱軸線上任意點相對于懸點的位置，靜位置曲線坐標為抽油桿柱軸線上任意點相對于井口的位置。在上述假設條件下，建立如圖1(b)所示抽油桿柱橫向振動的力學模型。圖中：s和x分別為反映抽油桿柱軸線上任意點位置的動位置曲線坐標和靜位置曲線坐標；P(t)為任意時刻t作用于抽油桿柱底端的軸向載荷，以拉力為正；q(s,t)或q(x,t)為軸線位置s或x處抽油桿柱所受的軸向分布載荷；qub(s,t)或qub(x,t)為軸線位置s或x處抽油桿柱所受的橫向分布載荷，即抽油桿柱浮重在垂直于抽油桿柱軸線方向上的分力與桿柱橫向振動導致的液體粘滯阻尼力；uA(t)為任意時刻t懸點相對于上死點的位移，懸點位移向下為正。

1.1 抽油桿柱橫向振動方程

圖1(c)為抽油桿柱微元受力圖。由微元受力分析可以得到微元段動力平衡方程：

式中：ρ/(kg/m3)為抽油桿材料密度；A/m2為抽油桿橫截面積；u(s,t)/m 為抽油桿柱任意截面s在時刻t的橫向位移；Q(s,t)/N 為抽油桿柱任意截面s在時刻t的剪切力；T(s,t)/N 為抽油桿柱任意截面s在時刻t的軸向力；ρl/(kg/m3)為油管內液體密度；α(x)為井眼x處的井斜角；g/(m/s2)為重力加速度；μ/(N?s/m2)為阻尼系數；L/m 為抽油桿柱的長度。

在線彈性變形假設下，彎矩與撓度的關系、靜位置曲線坐標與動位置曲線坐標的關系可表示為：

式中：E/Pa 為抽油桿材料彈性模量；I/m4抽油桿的抗彎慣性矩；S/m 為抽油機沖程長度；uA(t)/m為懸點位移規律。

將彎矩與撓度的關系、靜位置曲線坐標與動位置曲線坐標的關系代入式(1)，可以得到抽油桿柱橫向振動微分方程：

式中：a/(m/s2)為懸點加速度；v/(m/s)為懸點速度。

為對比本文所建立仿真模型與現有模型的區別，忽略式(3)中的部分項，便可以簡化為現有模型[17?18]。即在式(3)中，若不考慮彎曲井眼對軸向運動抽油桿柱橫向振動的激勵，同時不考慮桿柱彎曲變形所導致的軸向力在橫向上的分量對橫向振動的激勵(考慮桿柱初彎曲導致的軸向力橫向分量對橫向振動的激勵)，式(3)可以簡化為文獻[17?18]所建立仿真模型(以下簡稱原模型)：

1.2 邊界條件

抽油桿柱與井口的結合面受到橫向位移與角位移的約束，因此可以將懸點到井口的抽油桿柱簡化為可滑動的固定約束；抽油桿柱底端柱塞的橫向位移與角位移受到泵筒的約束，因此也可以將抽油桿柱的底端簡化為可滑動的固定約束。抽油桿柱兩端的邊界條件為：

1.3 初始條件

假設抽油桿柱初始狀態時，桿柱軸線與井眼軸線重合，抽油桿柱處于靜止狀態，懸點位于抽油機上死點。則初始條件可表示為：

1.4 油管約束與接觸判定

桿管接觸力由桿管碰撞產生的碰撞力Fs和桿柱彎曲與軸向拉力產生的側向壓力Fn組成。

當仿真節點的橫向位移超出油管邊界時，抽油桿柱與油管柱產生接觸碰撞，因此桿管接觸碰撞的判定條件可以表示為：

式中：R/m 油管內圓半徑；當i取r 時，代表抽油桿桿體節點，i取c 時，代表接箍節點，i取s 時，代表扶正器節點；rr/m 抽油桿半徑；rc/m 接箍半徑；rs/m 為扶正器半徑。

碰撞后相應節點的狀態為：

式中：t+為碰撞后；t?為碰撞前；γs為碰撞恢復系數，其值取決于碰撞體的材料[22]。

由于較難確定碰撞力的瞬時值，本文通過沖量的改變來描述碰撞的強弱。假設在ts[23]時間段內桿管完成碰撞，此時間段內桿管碰撞產生的碰撞力Fs可由下式計算：

2 橫向振動仿真方法

抽油桿柱橫向振動的仿真模型為變系數的四階偏微分方程，無法求得方程的解析解，因此本文采用有限差分法與Newmark-β 法相結合的方法求解偏微分方程。采用有限差分法離散空間變量s，采用Newmark-β 法離散時間變量t。

采用Newmark-β 法對時間進行離散處理。

式中，γ 和β 是按積分精度和穩定性要求進行調整的參數。當γ ≥ 0.5，β ≥ 0.25(0.5+γ)2時，Newmark-β法無條件穩定收斂。本文取γ = 0.5，β = 0.25，此時仿真精度較高，穩定性好[24?25]。式中：下角標t代表對時間t求偏導；上角標代表不同的時間點。

式中，uk,i代表節點i在時刻k的橫向位移，其中，iz

動力學問題的求解受初始條件的影響。本文建立的橫向振動仿真模型中考慮了液體阻尼、桿管碰撞導致的能量損失，隨計算周期的延長可以消除初始條件對仿真結果的影響。結合前文所述Newmark-β 法的穩定收斂性[24?25]，可以知道經過一定時間的仿真計算后，模型仿真結果將趨于穩定收斂。觀察仿真結果發現，在第30 個激勵周期，本文仿真結果已經穩定收斂，因此本文取第30 個激勵周期的仿真結果進行分析。

3 仿真實例與仿真分析

3.1 基本參數

本文算例仿真參數如表1 所示。油井全井布置扶正器，每根桿上均勻布置兩個扶正器。查找油井井斜數據得到井眼軌跡示意圖如圖3(a)所示。根據文獻[21]計算得到懸點位移規律、抽油桿柱軸向力分布情況如圖3(b)、圖3(c)所示。

3.2 仿真結果對比分析

根據以上兩模型，分別開發了定向井抽油桿柱在井斜平面內的橫向振動仿真系統，并求解了抽油桿柱的橫向振動規律以及桿管接觸力。

圖 2 仿真流程圖Fig. 2 Flow chart of simulation calculation

表1 算例計算參數Table 1 Calculation conditions

圖 3 井眼軌跡、懸點位移、軸向力變化曲線Fig. 3 Curves of well trajectory, suspension displacement and axial stress

圖4 為9 s 時，抽油桿柱各類節點橫向位移隨節點位置變化的仿真結果；圖5 為9 s 時，各類節點桿管接觸力隨節點位置變化的仿真結果。

觀察圖4、圖5 發現以下現象：1) 相同時刻相同節點，兩模型所得桿管接觸力值及桿管接觸狀態均有較大差別；2) 新模型所得仿真結果桿管接觸力大于原模型，且抽油桿柱的橫向振動更為明顯；3) 桿管接觸力從油井的造斜段開始有明顯變化，且抽油桿柱對應井眼軌跡第一造斜段的位置桿管接觸力最大；4)在抽油桿柱的受壓段桿管接觸狀態變化最為明顯，說明在抽油桿柱的受壓段桿柱橫向振動最為明顯。

圖 4 9 s 時桿柱節點橫向位移仿真結果Fig. 4 Simulation results of transverse displacement of SRS at 9 s

圖6 分別繪制了抽油桿柱在453 m(扶正器節點、處于第一段造斜段、軸向始終受拉力)、1080 m(接箍節點、軸向受力存在受壓時間段)、1288.5 m(桿體節點、軸向受力存在受壓時間段)處節點的橫向位移隨時間的變化規律。圖7 分別繪制了抽油桿柱在453 m、1080 m、1288.5 m 處節點桿管接觸力隨時間的變化規律。

圖 5 9 s 時桿柱節點桿管接觸力仿真結果Fig. 5 Simulation results of rod-tube contact force at 9 s

觀察圖6、圖7 可以發現以下現象：1)同一周期相同節點，兩模型所得仿真結果并不相同；雖然453 m 處節點兩模型所得橫向位移仿真結果相同(扶正器節點始終與油管上管壁接觸)，但兩模型所得桿管接觸力的值有較大差別；2)對比1080 m、1288.5 m 處兩節點仿真結果發現，新模型較原模型桿柱橫向振動更為明顯；3)桿柱的受壓段橫向振動較受拉段更為明顯。

觀察以上現象得到如下認識：1)兩模型所得橫向振動仿真結果存在較大差別，新模型所得仿真結果桿柱橫向振動更為明顯，說明桿柱軸向運動導致的井眼軌道激勵與橫向變形導致的軸向拉力激勵將加劇桿柱的橫向振動；2)在油井的造斜段桿管接觸力較大，說明定向井的造斜段是桿管偏磨的危險點；3)桿柱的受壓段橫向振動與桿管碰撞最為明顯，說明桿柱受壓段是桿管偏磨的危險點。

圖 6 節點橫向位移隨時間的變化曲線Fig. 6 Transverse displacement curves of simulation nodes

圖 7 節點桿管接觸力隨時間的變化曲線Fig. 7 Rod-tube contact force curves of simulation nodes

3.3 模型驗證

查找3.1 所述算例油井的檢泵作業記錄，并與新模型計算所得節點桿管接觸力仿真結果進行對比，驗證了本文建立的抽油桿柱橫向振動仿真模型的適用性。

觀察表2 可以發現：1)抽油桿柱實際偏磨情況與仿真結果基本相符(桿管接觸力越大，桿管偏磨越嚴重)，說明本文所建立仿真模型具有較高的適用性；2)油井實際偏磨情況顯示，桿管偏磨的危險點出現在油井的造斜段與桿柱的受壓段，與3.2 分析所得結論相同。以上分析說明本文所建立仿真模型對預防桿管偏磨、指導抽油桿扶正器的配置具有理論與實際意義。

表2 抽油桿柱實際磨損情況Table 2 Actual wear situation of SRS

4 結論

本文首次提出彎曲井眼是軸向運動抽油桿柱橫向振動的一項主要激勵。綜合考慮井眼彎曲導致的抽油桿柱初彎曲、彎曲井眼與軸向力對橫向振動的激勵，基于彈性體振動理論，建立了更為全面的抽油桿柱在定向井油管內的橫向振動仿真模型。采用有限差分法和Newmark-β 法進行計算，實現了定向井抽油桿柱橫向振動的仿真。通過實例分析得到如下結論。

(1)新模型與原模型相比，仿真結果存在較大差別。總體來說新模型計算所得桿管接觸力仿真結果更大，桿柱橫向振動更明顯，說明桿柱軸向運動導致的彎曲井眼激勵是抽油桿柱橫向振動的一項主要激勵，在建立仿真模型時不能忽略。

(2)仿真結果表明，算例油井的桿管偏磨危險點出現在油井的造斜段以及抽油桿柱的受壓段，此現象與油田實際生產情況相符。在油井的造斜段桿管接觸力相對較大；在抽油桿柱的受壓段桿柱橫向振動更為明顯。

(3)本文建立仿真模型的仿真結果與油井實際桿管偏磨情況相符，說明新模型具有較高的適用性，滿足實際生產需求，對預防桿管偏磨、指導抽油桿扶正器的優化配置具有理論與實際意義。