Sigma-Delta調制器的設計與仿真

余培 鄧世國 劉華珠 張志

摘 ?要：提出一種基于線性系統分析和仿真擬合的5階數字Sigma-Delta調制器的設計方法.

關鍵詞：Sigma-Delta調制器;過采樣率;數模轉換;積分非線性

1、Sigma-Delta調制器的線性系統模型

Sigma-Delta調制器和其他轉換器一樣，通過在時間上采樣和幅度上量化來實現模數和數模轉換.由于幅度上的量化，系統對信號的處理不再具有線性，所以整個Sigma-Delta調制器屬于非線性系統.但是，如果輸入信號為隨機信號，量化的級數足夠多，Sigma-Delta調制器的過采樣率遠遠大于2，或者Sigma-Delta調制器整形濾波器系統傳輸函數H（z）的階數足夠高（大于2），則量化器帶來的量化誤差將平均分布在量化區間上，從而可以近似為平均分布的量化噪聲.

2、Sigma-Delta調制器的系統傳輸函數

G（z）具有讓基帶信號通過而濾掉高頻噪聲的低通特性，而H（z）能有效地將量化噪聲轉移到高頻帶.忽略穩定性的要求，理想L階調制器的信號傳輸函數為G（z）=z-L，噪聲傳輸函為數H（z）=（1—z-1）L，相應信號基帶內的噪聲能量為其中：△為量化間隔;過采樣率ROS= ?S/（2?）.因此，系統的性能是傳輸階數L和過采樣率ROS的函數，ROS每提高一倍，基帶內的噪聲功率降低3（2L+1）dB，相當于同樣輸入信號強度的情況下，分辨率提高了L+0.5位.

根據Sigma-Delta調制器的線性系統模型，可以設計不同的系統環路結構L1，從而實現噪聲系統傳輸函數H（z）.級聯積分器單環反饋具有結構簡單，運算速度快的特點，經常被用在數字Sigma-Delta調制器的設計中。對于高于1階的單環反饋調制器是有條件穩定的系統，所以H（z）的最大增益Hinf一般不能太大，否則系統無法正常工作.Hinf具體的數值由系統函數的階數和量化器的量階決定.基于線性系統模型的設計是一種近似方法，所以得到的系統函數最后需要仿真驗證.

H（z）表示為H（z）=N（z）/D（z），其中：有理函數N（z），D（z）的根為H（z）的零點和極點.D（z）是取決于Hinf大小的ⅡR濾波器的傳輸函數，而N（z）由零點的分布決定.如果讓H（z）的零點均勻地分布在基帶內，而不是都處在z=1處，即N（z）≠（z—1）L，則同樣增益的H（z）可以獲得更高的信噪比.由Matlab的線性系統和Sigma-Delta調制器設計工具，可以綜合得到一個5階的噪聲系統傳輸函數H（z）

為了簡化數字電路，實際的零點采用了兩個近似：第一，N（z）單位圓上的零點采用L1中單位圓外的零點近似逼近;第二，為了簡化反饋回路的乘法運算，反饋系數g1～2用2的負冪次2-M（M為正整數）來近似，反饋信號的二進制數值只要向左移M位，并舍去低M位數字就可以實現相應的系數相乘.

雖然以上近似得到零點不是最優的位置，但是能大大簡化數字系統的實現，而信噪比的略微下降可以通過提高Hinf得到補償.實際設計中，通過仿真得到的信噪比選擇合適的M，可得到g1～2，g1≈2—1.997 2=0.002 8=2-8.48≈2-8;g2≈2—1.992 1=0.007 9=2-6.98≈2-7.

關于z各階冪次對應系數的匹配，可以得到一組關于b1～5的方程，解方程可以得到以b5為歸一化因子的b1～5的比例系數.一般可以根據最后一級積分器精度要求的位數確定b5的數值，如b5=28.

利用各級積分器的量化噪聲濾波特性，可以使后級的位數逐級遞減，而C1～5就是各級用來控制遞減程度的增益系數.1/ROS≥ C1～5.b5和C1～5確定后，b2～5的數值即可確定，g1～2的數值需要考慮C1～5而作相應的修正，使最后的環路增益保持不變.所有系數求出后，每級數字積分器的位數，可以通過Matlab的系統模型輸入正弦信號仿真得到的最大動態范圍來確定.

3、多位5階數字 Sigma-Delta調制器的設計

對于采樣率為32的5階數字Sigma-Delta調制器的設計可得g1=2-8，g2=2-7.由式（4）可以得到計算b1～5的方程，d1～5為N（z）—D（z）多項式4至0次冪的系數.由C1～5≤1/ROS=2-5，可以確定C1=C2=2-5，C3=C4=2-4，C5=2-8.最后，數字Sigma-Delta調制器環路反饋系數b1～5通過除以歸一化因子b'5和C1～5得到

4、仿真結果與比較

將C1～5和b1～5代入數字Sigma-Delta調制器中，即可得到仿真擬合的Matlab模型.由仿真結果可知：調制器的輸出，同時也是反饋信號在{±1，±3}之間跳變，具體取值可以通過對末級積分器的高2位二進制數判斷得到，即采用的是2位的量化器.

5、結束語

基于線性系統分析和Matlab仿真擬合的5階數字Sigma-Delta調制器，能夠有效地設計穩定的Sigma-Delta調制器.對于3階和4階的Sigma-Delta調制器，當過采樣率等于32時，其信噪比分別為68.0，73.3 dB;當過采樣率等于64時，其信噪比分別為84.2，98.6 dB.文中設計的5階數字Sigma-Delta調制器，在過采樣率降低一半的情況下，即等于32時，可以獲得104.1 dB的信噪比，比3階和4階調制器有大于5 dB的改善.因此，需要寬帶信號Sigma-Delta調制器的應用場合，可以考慮使用5階調制器降低過采樣率的要求.

基金項目：廣東省省級科技計劃 2014B090911001