從空間維數的本質探討多體問題下衛星實際運動的軌道

周新力

(湖南邵陽學院 城建系，湖南 邵陽 422000)

1 引言

迄今為止，國內外對衛星運動的基本規律的研究都主要是基于物理學中牛頓的萬有引力定律和愛因斯坦的相對論的理論框架所展開的[1-7]，并且對于衛星繞地球的運行狀態也主要是歸因于其受諸多引力作用的結果。在此基礎上，對于只考慮地心引力作用的“二體問題”，已基本得到衛星運動的嚴密分析解；而對于同時考慮其他天體引力作用的“多體問題”，卻至今還未得到有效地解決[8-12]。當然，最近幾年來國內外一些專家和學者就“多體問題”的算法[13-16]和衛星軌道的測控技術[17-20]這兩方面提出了比較好的處理方案。但不管是“二體問題”還是“多體問題”下的衛星運動，其得出的解所描述的只能是一個更接近于衛星實際軌道的運動軌道。本文則是從有別于現有理論框架的另一個新的角度即空間幾何的本質來推導的衛星運動的實際的而非近似的軌道方程，供學界參考。

2 問題的提出

從空間的幾何性質看，假設朝1維平直方向無限延伸的空間點集為N(N=1,2,…,∞)，那么，同時朝2維或3維平直方向無限延伸的空間點集應為N2或N3。相比較可知，盡管在1維、2維和3維等平直空間里的點集都是無限的，但N2的無窮大量總是要比N高一階，而N3則又是比N2更高一階的無窮大量。這意味著，假如數量為N2的空間點集不能向2維平直空間無限延伸而只能選擇朝某1維平直空間無限延伸，如圖1(a)所示，該空間的點集實質上將由N×N變成為1×N2。同樣，假如數量為N3的空間點集只能選擇朝某2維或1維平直空間無限延伸而不能向3維平直空間無限延伸，如圖1(b)所示，該空間的點集實質上也將由N·N·N變成為1·N·N2或1·1·N3。

圖1 高維空間的點集到低維空間的幾何映射

值得注意的問題是，由于朝任何一個平直的方向無限延伸的宇宙空間其相互垂直的平直的幾何維度最多只有3個。假設在宇宙空間里建立一個3維直角坐標系o-xyz，對于數量為Nn(n≥4)的空間點集，如圖2(a)所示，盡管它既可以選擇全部都在1維的平直空間o-y內無限延伸，又可以選擇部分在o-y之外沿2維平直空間o-yz的z方向分布的其他1維平直空間zi-y(i=1,2,3,…)內無限延伸，或者還可以選擇部分在o-yz之外沿3維平直空間o-xyz的x方向分布的其他2維平直空間xi-yz(i=1,2,3,…)內無限延伸；但事實上卻不能進一步選擇向o-xyz之外沿4維或4維以上方向分布的另外3維平直空間內無限延伸，如圖2(b)所示。這就決定了數量為Nn(n≥4)的宇宙空間里所有點集在本質上為3維的平直的無限延伸的立體幾何空間里分布時，只能重疊在3維空間的各個點上而發生變化，即由N·N·N·N·…·N變成為Ni·Nj·Nn-i-j·1·…·1(i,j

圖2 4維或4維以上空間與3維空間的幾何性質的差異

3 理論依據的分析

3.1 空間維數的本質

若把靜止于3維直角坐標軸上的點集定為0階，則在該3維直角坐標系上任意標準時刻t的瞬間某一個區域空間V內的點集實質上應包括0-n階。假設用(x,y,z)t代表空間位置點0階的3維直角坐標值，然后用(x(1),y(1),z(1))t、(x(2),y(2),z(2))t、……、(x(n),y(n),z(n))t等分別表示空間位置點的勻速變化、勻加速變化、……、勻變變加速變化的各階3維直角坐標值，那么，在任意時刻t該區域空間V的體積大小實質上應為

(1)

3.2 空間距離的本質

圖3 空間維數的幾何本質

(2)

從式(2)可以看出，只有當A點的空間位置變化的速度、加速度和變加速度等各階坐標值在任意時刻均為零時，o點到A點的空間距離soA才是3維直角坐標系o-xyz空間里的兩個坐標位置點之間的幾何空間距離loA，該值始終是一個固定不變的定值。而當A點的任意一階位置變化的坐標值在某一時刻t1不為零時，soA實際上是一段4維或4維以上的空間里兩個點之間的幾何空間距離，該值是隨時間而不斷變化的。宇宙空間內任意兩個質點，只有當兩者相對靜止時，才共同處在一個3維或3維以下的空間里；而當它們相對運動時，實質上是處在一個4維或4維以上的高維空間里。這也意味著，當用電磁波測量o點與A點之間的空間距離時，有一點可以肯定的是，假設以坐標系o-xyz空間的時間為標準，那么，電磁波在t1時刻無論是由o點發出還是由A點發出，在t2時刻到達對方時，它實際所覆蓋的空間距離的理論值應該為soA而絕不是loA。

4 探討的結果

4.1 衛星在太空中的運動軌道方程

空間維數的本質和空間距離的本質說明，對于宇宙空間里任意一個物體或質點，其靜止時的位置和運動時的軌道，都可以直接使用3維位置坐標和各階位置變化的運動坐標來正確地描述之。假設以地球為靜止參照系建立一個以地球的質心Q為原點、以地球自轉軸為Z軸、固聯在地球上并隨地球自轉的3維直角坐標系Q-XYZ，并設t時刻衛星j在該坐標系上的位置坐標為(xj,yj,zj)t，由于衛星和地球、月球等都在同一個地球公轉的軌道面上，即它們在太陽系這一階空間的階數(假設為n)是一致的，則t時刻該衛星的位置變化的速度、加速度和變加速度等各階坐標值C(1)～C(n)在Q-XYZ上的3個分量分別為

對于衛星在太空中運動的實際軌道實質上可以通過直接使用3維位置坐標和各階位置變化的運動坐標來建立一個類似泰勒展開式的運動方程予以正確地描述，即

(3)

其中

(4)

衛星中心與地心之間的空間距離的理論值為

(5)

4.2 方程的意義

根據以上的衛星運動方程可以得出這樣一個觀點：即假設衛星僅僅受地球引力的作用而作圓周運動時的運動方程為

x=Ssinωt，y=Scosωt，z=0

若將此方程化為式(3)的形式，即

則該方程意味著，通常所認為的“衛星圍繞地球作圓周運動是地球引力作用的結果”實質上可以理解為衛星的運動并不是什么引力的作用，而僅僅是因為它處在一個以地球為中心的高維空間里的某一個點上，該點在以地心為原點的坐標系上的空間坐標分別為

同樣，對于所謂的“衛星在多體問題下的自由運動(即無人為作用的運動)”，實質上也可以理解為“衛星并沒有受到地球、太陽和月亮等諸多引力的作用而運動，只是因為它處在地球圍繞太陽公轉的這一階高維空間里的某一個點上，該點在以地心為原點的坐標系上的空間坐標分別為

5 結束語

(6)

圖4 衛星的幾何定軌原理——距離交會法

當將式(6)的計算結果代入式(3)和式(4)的衛星運動方程后，則進一步可以解算出這個衛星在任意ti時刻的空間位置3維坐標值(x,y,z)ti和空間位置變化的k階3維坐標值(x(1),y(1),z(1),x(2),y(2),

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