中德兩國小學數學試卷對比與啟示

摘要：試卷命題是教育質量監測過程的核心工作，在課程改革中起著導向和促進的重要作用。為了發現中德兩國同齡學生數學學業質量水平的差異情況，特選取北京、上海、廈門等五個城市和德國柏林、慕尼黑等四個地區的小學數學四年級綜合測試卷，通過對比三十六份試卷的結構、特點、試題維度及其命題技術，識別兩國小學四年級下學期末（即將升五年級）的試卷差異。在此基礎上，思考如何重視試卷命題立意、提高數學解答說理題型比例、高觀點選擇試題素材、強調考查數學應用等問題，為我國新時代小學數學教育國際化做出判斷，進而獲得可推廣應用的經驗。

關鍵詞：試卷命題;中德兩國;數學學業質量水平;對比;啟示

數學命題是教育質量監測中的核心工作，在課程改革中起著導向和促進的重要作用。為了對比中德兩國同齡學生數學學業質量水平的差異，特選取北京、上海、廈門等五個城市和德國柏林、慕尼黑等四個地區的小學四年級數學綜合測試卷，對36份試卷的結構、特點、試題維度及其命題技術進行比照。在此基礎上，思考如何確定試卷命題立意，如何提高數學解答說理題型比例，如何高觀點選擇試題素材、考查數學應用等問題，為我國新時代小學數學教育國際化做出判斷，獲得可以推廣應用的經驗。

一、試卷結構與編寫特點比較

（一）試卷的立意與結構比例

試卷的立意是命題的開始，也是決定試題價值的根本因素與關鍵所在。立意就是確定一份試卷要評價什么的意圖。受我國中考、高考的選拔性影響，我國小學數學試卷特別注意區分度，出活題、考能力是其典型的特點。

德國小學數學試卷被賦予了“診斷測試和調查研究”的功能，目的是要了解學生學習的真實情況，不需要排序、選拔和淘汰，不需要考查達標不達標，只是調查統計有多少人會多少人不會，哪方面有欠缺，有多少人會到什么程度，等等。

不同的立意起著不一樣的價值引導作用，也決定著試卷的結構，同時引導著數學教師的日常教學行為——是要重視提高中低檔題的正確率，還是要重視對試卷結果暴露出來的問題與漏洞進行查缺補漏。長期以來，我國的教學和學業評價存在偏重純學術性的傾向，我們也應該重視小學數學試卷的立意導向，使其更科學地促進學生素質的全面發展。

德國小學四年級數學測試卷分為一卷和二卷，合起來組成一份完整的測試卷，每卷30分，兩份試卷滿分為60分。試卷在22～25題之間，包含計算題、填空題和解答題，其中解答題約占三分之二。雖然試卷的題量不多，但是內容面廣，同類知識一般就測試一題，各個試題的相近程度很低。把德國小學四年級數學測試卷按“數與代數”“圖形與幾何”“概率與統計”“綜合與實踐”進行劃分，四個領域內容所占的比例與份量分布如表1。

兩國試卷除了題型、分值存在較大差異外，在內容比例方面區別不大。另外，在我國五個城市的四年級數學試卷中都出現了單純的計算測試題，分值都在20分左右，有些試卷專設學生完成試卷的“書寫評價分”，一般為3分。德國試卷里也有單純的計算測試題，但是一般就安排兩題，分值為3分左右，他們沒有評價學生的書寫分。

（二）試卷編排特點與解答要求

德國試卷為學生留有很大的答題寫作空間，學生可以直接在試卷上進行“草稿”。還會在試題里提供方格圖、數軸等“提示語”，這對學生尋找到解題思路能起到很好的啟發與幫助的作用。

用圍欄把這個院子圍起來并留了4米的通道，需要幾米的欄桿？（如圖1、圖2）

此題“求周長”，考查的是學生觀察圖形、計算周長的能力。德國試卷提供了方格圖輔助學生思考，學生既可以通過數方格邊長得到結果，也可以通過把該圖形轉化成長方形，求出長方形的周長后再減去4米的通道長度。

數學材料通常使用圖表、符號和文字三類語言，有時單獨使用，有時綜合使用。如果能熟練、準確地進行三種數學語言的相互轉換，學生就能理解和掌握所面對的數學材料，從而實現高水平的數學問題解決;反之，就會造成數學理解、接受和處理障礙或困難，影響學生的學習效果。德國試卷不僅有許多圖、表格，還不吝使用大量的文字語言，讓每道試題都有一個很具體的生活情境，考查學生對符號語言、文字語言、圖表語言的理解及相互轉換能力。

自動喂食器用于喂魚缸里的魚，假設每條魚需要相同數量的食物。因此，該機器被設置成喂養三種魚，每天提供9克食物。

（1）帶有此設置的寵物喂食器裝滿500g食物的時候可否喂食60天？說明理由。

（2）到目前為止，水族館里有三條魚，現在增加5條。因此，喂食器被重置，機器每天提供多少克飼料才足夠？說明你的解決方案。

語言豐富的試題可以有效地檢測出哪些學生無法正確提取數學圖形所表示的量，或是無法正確解讀數學符號所表示的關系，或是無法把數學圖例內容轉為數量內容。如果試題只局限于一種數學語言，學生的思維就會停留在所讀材料的一個側面，有時可能會有一種“山窮水盡”的感覺。像這樣，通過豐富試題語言設計具有一定復雜性的問題情境，測評學生能否靈活應用所學知識與解決變式問題，或者設計少量結構不良問題測評學生是否能夠調用認知經驗以及相關概念，形成解決問題的策略，是德國試卷編排的典型特點。

兩國試卷對學生的解答要求也存在一定的區別。德國考試以回答為主，考試要寫的，不是學生求得的答案，而是對這個數學問題的意見，包括怎么看、如何分析、決定用什么方式處理，如果過程中遇到需要運算的環節，就用手上的計算器計算，等等。德國試卷有許多要求學生“說理”的試題，每個大題拆分成兩個或三個小題之后，最后的那個小題幾乎都是要求學生“說理”的，要求學生“說說這樣選的理由”“說說你是怎么想的”“你為什么這樣想”。

德國學生在用算式呈現解答思路之后，還需要用文字表達自己的解答步驟，對于數學試卷的解答形式學生可以不拘一格，可以進行純文字的推理論證，也可以用列式計算的方法予以解決，還可以通過畫圖等方法進行直觀闡釋。

二、試題維度比較

（一）內容維度對比

試題分析，傳統的視角是將其區分為“知識點與水平層次”兩個維度。現代的新視角認為，試題質量分析應該是“三維論”，我國一般區別分數學知識與技能、方法與思想、數學能力，德國則是區分為數學內容、數學能力和數學素質。無論是傳統還是現代，我國還是德國，都是以數學內容作為分析的基礎。

中德兩國在四年級都學習了“認識大數”，我國側重于認識大數的讀寫法和求近似數，不要求進行大數計算，德國要求學生能夠計算五位數甚至六位數的混合運算。德國試卷的第一題都是兩道要求豎式計算題，我國試卷也會有安排計算題，但是題量較多，內容包含加減乘除、運算定律，形式有口算、估算、列豎式計算、簡算，等等。

德國試題里的數據很多都是“現實版”的，和生活原型非常接近，如果學生采取心算或是筆算，很難快速獲得結果。但是德國試題要求學生熟練使用計算器，學生被允許在解題時可以使用電子計算器輔助完成，因此試題里繁瑣而真實的數據對他們沒有任何挑戰。另外，德國試題沒有考查學生口算、估算或是根據不同的情境進行不同估算的要求，但要求學生必須清楚了解數學運算的原理。

我國在小學四年級數學教學中安排了“認識和學會使用計算器”，但是我們的各級各類考試至今還是不允許學生使用計算器輔助解答試題，因此我們的小學數學教師依然花很大的力氣在培養學生的口算、心算和更快計算的能力。由于可以借助計算器這一工具輔助解答試題，因此德國的四年級教學沒有用簡便方法進行計算的內容，其計算方面的試題也沒有要求學生運用簡便方法進行運算，而這也是導致德國小學生運算能力遠遠不如我國學生的原因之一。

德國數學試題包含許多動手操作內容，而且考查要求高于我國。關于“圖形的測量”，我國試題一般讓學生觀察圖形之后，利用題目中已知的數據信息解決問題。德國試題是先讓學生實際測量，再計算幾何圖形的周長或面積，試題標準答案要求學生精確到毫米，遠遠高于我國的試題要求精確到厘米。比如，考查“軸對稱圖形”，德國試題（如圖3）要求學生在點子圖上對軸對稱圖形進行觀察、補充完整，涉及鏡面圖像。

在代數領域，中德兩國都設計了“能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和利用符號進行運算、推理”的試題。我國要求學生能用符號進行數學表達和思考，不僅考查四則運算，還考查等量代換、推理能力，在試題中考查符號運算時一般不包含具體的數。德國試題（如圖4）不僅要求學生用等量代換的思想進行思考，考查推理能力，還要求解答包含著符號和具體數的代數運算，一組問題里既有大數還有不同級別的運算，符號之間的關系也顯得復雜多樣。

隨著信息化社會的到來，越來越多的問題將無法用單一的數學知識來解答，需要學生綜合多個數學知識進行分析解答。像德國這樣，在一道試題中綜合考查運算、符號代數、等量代換關系等，學生需要聯系不同領域里的數學經驗，反映出其運用所學知識、觀點、方法分析問題的能力，實現考查學生知識、能力、覺悟的統一。

（三）認知水平維度對比

試題的認知水平要求一般分為了解、理解、掌握、應用四個層次。擇取兩國試卷中“數與代數”試題的認知水平進行比較，可以發現：兩國試卷該部分的認知水平要求多表現為模仿和遷移，探究類試題相對較少，難度范圍差異不大。雖然兩國都同樣重視聯系實際編制試題情境，但是我國人為虛構情境的試題比例高于德國，德國較多使用社會科學背景作為試題情境，因此其問題的綜合難度系數會更高一些。

如“數的認識”試題（圖5），德國試題要求“在方框內填上正確的數字”，我國試題也同樣要求在數軸上表示數。但是德國試題要求表示的是準確數、正整數，停留在認識整數部分，而我國試題則是考查近似數、小數。在解答德國試題的過程中，如果學生只是簡單“找位置”是無法得到答案的，必須根據數軸進行計算，要把一個整體平均分成幾份，再進行填數。我國試題可以通過判斷數所在的大致位置，得到答案。德國試題更能體現數軸作為數學工具在數學上的具體應用，即“每個數在數軸上是怎么產生的？和是多少？”我國試題側重于考查小數的位置以及其在數軸中的位置。

德國對于立體圖形的認知水平要求也明顯高于我國，他們不僅要求學生要掌握三視圖所表達的原圖形，還對學生空間想象的精準度有較高要求，學生想象出來的圖形要接近原圖形并且能夠基于想象進行計算。

如，luukas和mattias看著圖片里的模型，是由球和等長的木棍組成的。

（1）lukas考慮從模型的組件中構建四個小方塊，他需要多少個木棍和球？

（2）matthias想用模型的組件來構建塔樓，從中可以看到前視圖和側視圖，勾選最合適的選項：比模型多8根木棍（），比模型多4根木棍（），比模型多2根木棍（），一樣多（）。

像這類觀察物體的試題，學生要憑借文字想象出立體圖形，還要從立體圖形中找到與棱、角相關的信息進而解決問題。我國小學四年級還沒有學習立體圖形的特征，只安排了“從不同角度觀察物體得到不同的結果”的學習。即使是考查“三視圖”的試題，最高要求也只是“描繪出從左面、正面、上面觀察到的四個同樣的小正方體所擺成的物體的面”，要求比德國低很多。

德國小學數學試卷對認知維度的設計，重視獲取數學信息能力的考核和思維能力的考核，尤其是批判性思維、創造性思維的考核，這些都是比知識更重要的東西。他們把試題考查指向衡量學生智慧技能和認知策略的水平，將目標指向學生在解決實際問題過程展現出來的邏輯推理、數學表達等綜合應用能力，將更有助于學生適應未來科技革命和知識經驗的挑戰。

三、命題技術比較啟示

（一）比較組題特征的啟示

命題技術包括取材與組題，其中素材是基礎，不同類型、不同位置的題目通常需要不同的素材，只有收集、尋找到好的素材，才有可能命制出合適的題目。按回答的方式及判分手段的性質分類，試題一般分作主觀性試題和客觀性試題兩大類，每一類試題又包括各種不同形式的題目。德國小學數學試卷的客觀題和主觀題比例相差不大，許多主觀題都是開放性的解答題。他們編制的開放型主觀題既有時代性，又從學生的現實生活出發，以考核能力為核心，有較強的思想性、科普性和人文性。

德國試卷上的解答題一般是在一個大前提（已知條件）下，提出若干問題，要求學生完整地寫出解題過程。它的特點是容量較大，能直接考查多個知識點，以及綜合考查多種數學思想、方法和數學能力。由于這類題目從一個基本數學事實出發，通過變形、擴張、發展形成一系列的題組，因此較之選擇題更能考查考生的解題思路和解題過程，也能更好地對不同水平的考生進行多層次的區分。

德國試卷上的解答題大體可以分成兩類。第一類：所提的若干問題是并列的，彼此獨立，互不關聯;第二類：所提的若干問題是遞進的，彼此間存在層次上的聯系，后一問的解答，依賴于前一問的結果。提問方式有單問也有分步設問，有的是證明題，也有的是探索題。題設條件有“隱”條件也有“顯”條件，有間接條件也有直接條件，所涉及的知識點、數學思想、數學方法都較為廣泛，學生數學思維參與的強度也較大。

德國試卷的解答題很注重層次性，一般每道題都包含2～3個小題，每小題的內容都是由淺入深，由簡單到復雜，可以讓不同層次的學生的能力和才華得以展示和發揮。如德國統計測試題：

87名兒童參加調查，每個孩子都有他最喜歡的學科，用圖表明結果。

（1）有多少孩子稱數學為他們最喜歡的科目？

（2）在圖中填寫主題HSU的缺失列。

（3）沃爾夫岡對誒羅爾說：您把圖標搞錯了，我最喜歡的科目是音樂，但它不存在，為什么誒羅爾沒有弄錯？

這和我國統計類試題有很大的區別。我國對統計類測試題的核心內容和能力一般定于“理解統計的意義和應用統計信息解決實際問題”，因此會融入平均數、眾數、中位數等統計概念，在試題內容維度上會包括統計方法、統計圖表信息、統計結果應用等等，更全面、更綜合。在題干特征方面，一般會給出具體統計的主題情境，以及學生利用統計圖數據進行分析與預測的應用型問題，子技能包括認識統計項和統計量、能讀懂各個直條的含義、會解釋統計結果并根據統計結果能夠做出簡單的判斷和預測。德國試題沒有要求學生認識統計量，他們注重考查學生分析統計圖里的信息，并據此判斷和推理，通過“把缺失的項補充完整”考查學生對統計信息的加工處理能力。

（二）比較試題選材的啟示

選材是根據一定的考查目的（立意）和中心進行的，立意與選材兩者之間，往往交織在一起。德國試題的選材從比較高的觀點物色數學問題，他們主要從社會現象、自然現象、生活現象、生產過程和科學實驗等實踐中尋找素材和問題，注重與社會生產、生活實際的結合以及與科學新成就的聯系，因而選取得到的數學試題素材，所蘊涵的數學思想方法比較深刻，試題時代感較強，學生可以在解題的同時獲取新信息、拓寬視野和知識面。現實生活中的數學問題涉及各方面的因素，解決這些問題需要跨學科知識和能力的考核，這對學生提出了更高的要求。

雖然我國和德國都注重數學與生活的廣泛聯系，將數學問題融于真實的情境之中，但是德國試題更加強調讓學生解決實際生活中的問題，要求學生從數學的角度運用知識和方法尋找解決問題的策略，能清晰有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據。我國試題往往是先定考查知識點再創編服務于該知識內容的試題情境，最常見的是采用學生學習過程中的典型錯誤為素材情境，通過設計層層遞進的“問題串”，讓學生在問題的解答中暴露思維過程。

德國試卷里的探索性或開放性試題，大多以社會生活中的實際問題為素材，要求學生利用已經學習過的知識，采用各種手段或工具，提出合理的解決問題的方案。大部分試題要求學生能夠自主閱讀提取有關聯的數學信息，然后進行解決問題。他們試題中的字符數明顯多于我國試題中的字符數，對學生數學閱讀能力的要求更高一些。

ludwig畫了三個不同的圓圈，第一個圈由8個字段組成，每個圓圈分為順時針編號的全等字段。

（1）ludwig的第二個圈由16個字段組成，哪個字段與編號為5的字段直接相對？

（2）對于第三個圓圈，編號為10的字段與編號為4的字段直接相對，第三個圈多少個字段？

與一些開放性主觀題相對應的是德國試卷的許多答案都是開放的，他們鼓勵學生構建自己的答案，答案的形式也可以各種各樣。

在實踐中，我發現許多學生在材料、信息題上失分較多，不能有效獲取新信息并加以應用是一個重要原因。在信息化社會的大背景下，對大量知識進行篩選的能力具有極為重要的意義。因此，我國小學數學試卷應該引入更多的問答題，既體現基礎性知識，還體現策略性知識、實踐性知識，多提供能考查出學生對小學數學核心知識、核心技能的理解和掌握，尤其是學生收集與分析信息的能力、綜合運用所學知識解決實際問題的能力以及對數學思想方法的理解與掌握的試題素材，促使學生靈活運用課堂所學的數學知識和方法，使學生逐步成為知識的實踐者，發揮學生學業質量監測對小學數學教學的正確導向作用。

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（責任編輯：楊強）