基于概率語言BWM與PROMETHEEII的多準則決策方法

耿秀麗，周青超

(上海理工大學 管理學院,上海 200093)

0 引言

由Brans[1]提出的偏好順序結構評估法(PROMETHEE)，是一種建立在“級別高于關系”的多準則決策方法，該方法過程簡單、計算簡便、意義明確，對環境具有靈活性和適應性。在決策過程中，每一個備選方案的各個準則值都要求與其他備選方案的各個準則值進行比較，使得各備選方案間都得到了充分的比較，保證了排序結果的穩定性與可靠性。PROMETHEEI通過方案的流入量和流出量建立方案間的部分偏好關系，PROMETHEEII通過方案的凈流量建立方案間的完全偏好關系。PROMETHEE廣泛應用于各個領域，文獻[2]將PROMETHEE用于商業小額貸款信用評級，文獻[3]將PROMETHEE方法應用于FMEA風險評估，文獻[4]將PROMETHEE方法用于確定失效風險排序，文獻[5]將PROMETHEE用于城市防洪減災方案的優選。但上述文獻中PROMETHEE方法都只處理了定量的信息，而評價信息往往存在模糊性和不確定性。

針對多屬性決策中評價信息的模糊性和不確定性問題，模糊數常用來處理評價信息。文獻[6]用三角模糊數來處理PROMETHEE中的評價信息，文獻[7]用灰度數來處理PROMETHEE中評價信息的模糊性，文獻[8]用二型模糊數來處理PROMETHEE中的評價信息。但使用單一語言術語的模糊語言不能準確的表達專家的觀點。猶豫模糊語義術語集合(Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set, HFLTS)可以同時使用多個語義術語來表達專家的意見。文獻[9]使用猶豫語言模糊集來處理PROMETHEE中的評價信息，能夠很好的表現出專家在決策過程的猶豫性。但在某些具有大量不確定因素的決策問題中，專家對語義集的偏好程度不同，而HFLTS中的語義集被賦予相同的權重，所以會造成專家偏好信息的損失。因此，Pang等[10]在HFLTS的基礎上提出了概率語言術語集(Probabilistic Linguistic Term Set, PLTS)。概率語言集中的語義集被賦予了相應的概率，可以體現出專家的猶豫偏好程度，能夠比較準確的表現出專家的偏好信息。本文采用PLTS表達專家對備選方案的評價信息，將概率語言形式的評價信息納入PROMETHEE II中對備選方案進行排序。

傳統的PROMETHEE 也存在準則權重需要從外部獲得的問題，針對準則的權重要從外部獲得的問題，文獻[11,12]采用AHP改進PROMETHEE方法來確定準則的權重，對于n個準則的權重問題，AHP需要n(n-1)/2次比較，兩兩成對比較雖然保證了打分的全面性，但過程復雜繁瑣，且當準則數量較多時不容易滿足一致性要求。荷蘭學者Razaei[13]提出了最優最劣法(Best-worst Method, BWM)，其思路是通過篩選最優和最劣兩種特殊準則，將其他準則分別與最優準則與最劣準則進行比較，實際只進行(2n-3)次比較，簡化了比較過程，也保證了結果的可靠性，所以在決策領域得到了廣泛的運用，文獻[14]將BWM用于可持續供應商的選擇；文獻[15]通過建立新的模型，并將M1模型與M2模型進行比較分析，提出了用BWM解決群決策方法；文獻[16]將BWM應用于應急決策的選擇。本文將BWM和PROMETHEE II方法相結合解決多屬性決策問題，并將概率語言納入BWM方法中來確定準則的權重。

綜上，本文提出了基于概率語言BWM與PROMETHEE II的多準則決策方法，采用概率語言表達專家給出的語義評價信息和準則之間的影響關系。將概率語言納入BWM中計算出各準則的權重，再將概率語言作為評價語言納入PROMETHEE II中對備選方案進行排序。最后，將本文所提方法應用于無人機改造方案，并進行對比分析，驗證所提方法的有效性。

1 理論知識

1.1 概率語言術語集的基本概念

2016年Pang等[10]提出概率語言術語集，概率語言術語集是由語義集和語義集相對應的概率組成的語義集合，L(P)為專家用概率語言術語集表達的語義評價信息。概率語言術語集不僅可以表達專家在方案評估時猶豫不定的情形，還可以表現出專家的偏好程度，相比其他語義評價方法能避免評價過程中專家偏好信息的損失[10]。

定義1[17]設S={s0,…,sα}為LTS，一個PLTS可以被定義為：

L(p)={L(x)(p(x))|L(x)∈S,

(1)

其中，L(x)(p(x))表示語義集L(x)的概率為p(x)，#L(p)是所有L(p)中包含的語義集的個數。

如設LTS為五個粒度的語義術語集，S5=(S0=VL,S1=L,S2=M,S3=H,S4=VH)。當準則為無人機的續航時間(C3)時，專家給出“大多時候對方案影響很大，但有時影響不大”，則此時記“大多時候對方案影響很大”為S4，其概率為0.7，記“有時影響不大”為S1，其概率為0.2，此時的={(S1,0.2),(S4,0.7)}。

(2)

定義3[17]設L(p)={L(x)(p(x))|x=1,2,…,#L(p)}為一個PLTS，r(x)為語義集L(x)的下標，則L(p)的得分函數如下:

(3)

(4)

設概率語言術語集L(p)1和L(p)2的得分函數為G(L(p)1)和G(L(p)2)，偏差度分別為σL(p)1和σL(p)2。當G(L(p)1)=G(L(p)2)時，如果σL(p)1<σL(p)2，則L(p)1>L(p)2；如果σL(p)1=σL(p)2，則L(p)1=L(p)2；如果σL(p)1>σL(p)2，則L(p)1

定義5[18]設S={s0,…,sα}為LTS，L(p)={L(x)(p(x))|x=1,2,…,#L(p)}為一個PLTS，r(x)為語義集L(x)的下標，L(x)中語義集L(x)的粒度越大，表示評價時的猶豫度越大，則L(p)的猶豫度如下：

(5)

定義6[18]設L(p)={L(x)(p(x))|x=1,2,…,#L(p)}為一個PLTS，則L(p)轉化為精確數值的轉化函數如下：

(6)

概率語言術語集L(p)隨著L(p)越大而越優，偏差度的越小而越優，猶豫度的越小而越優。

2 指標權重的求解及備選方案的排序

2.1 基于概率語言BWM權重計算方法

傳統的BWM方法，進行專家打分時用1～9個刻度進行打分，但評價信息具有猶豫性和不確定性，并且決策信息包含概率信息，故采用概率語言進行評價，保證了評價信息的準確性。如設PLTS為9個粒度的術語集，L(p)={(S0,0.8),(S4,0.1)}表示為“大多時候準則Ci極端優于準則Cj，有時準則Ci稍微劣于準則Cj”，具體的粒度表示如表1。通過將概率語言與BWM相結合，求解各準則的權重，其具體步驟如下：

步驟1在準則集{C1,C2,C3,…,Cn}中選取最優準則CB和最劣準則CW。

步驟2經專家討論用概率語言進行評價，確定最優準則CB相比于其他所有準則Ci的偏好程度，構建比較向量AB=(aB1,aB2,…,aBn)，其中aBi代表最優準則CB與其他準則Ci相比的偏好程度。

步驟3同理，確定其他所有準則Ci相比于最劣準則CW的偏好程度，構建比較向量Aw=(a1W,a2W,…,anW)，其中aiW表示其他準則Ci與最劣準則CW相比的偏好程度。

minξ

wj≥0,forallj

顯然, 變換矩陣(A-μB)-1B的最大特征值將對應于原廣義矩陣特征值方程中最靠近偏移值μ的特征值, 這個變換過程通常稱作shift-and-invert算法[6]. 標準矩陣特征值問題可以采用隱式重啟Arnoldi方法求解最大幅值的特征值, 在MATLAB軟件中對應于eigs函數調用.

(7)

2.2 基于概率語言PROMETHEE II排序方法

將概率語言與PROMETHEE II進行有效的融合，確定概率語言在PROMETHEE II中的粒度,如設9個粒度的術語集,L(p)={(S2,0.8),(S4,0.2)}表示為“大多時候備選方案Xi在準則Cj上評價值高，但有時評價值稍高”，具體粒度表示如表2所示，利用BWM求得準則權重，結合PROMETHEE II對方案進行排序，具體步驟如下。

步驟1經專家組討論，給出方案Xi在屬性Cj下的評價值為fj(Xi)，評價值用概率語言進行表示，構建決策矩陣。

步驟2通過公式(4)～(6)將概率語言術語轉化為精確數值。

步驟3確定每個準則的偏好函數Pj(Xi,Xs)。準則偏好函數有兩個要素：dj和Pj(Xi,Xs)。其中dj=fj(Xi)-fj(Xs)，表示方案Xi和Xs在準則j上的準則值之差；Pj(Xi,Xs)=Pj(fj(Xi)-fj(Xi))=Pj(dj)，Pj(Xi,Xs)∈[0,1]是偏好函數值，表示從準則j的角度看，方案Xi比方案Xs好的程度。根據文獻[1]選用常用偏好函數，具體函數如公式(8)所示。

(8)

步驟4確定方案兩兩比較的優先指數π(Xi,Xs)。π(Xi,Xs)是決策者同時考慮所有的屬性時，對方案Xi與Xs的優先強度的描述，其中公式(9)中的準則權重wj，本文已通過概率語言與BWM相結合求得。

(9)

步驟5確定方案Xi的流出量Φ+(Xi)如公式(10)所示，Φ+(Xi)表示方案Xi級別優于其他方案的可能性，其值越大方案Xi越優。

(10)

步驟6確定方案Xi的流入量Φ-(Xi)如公式(11)所示。Φ-(Xi)表示其他方案級別優于Xi的可能性，其值越小方案Xi越優。

(11)

步驟7確定方案Xi的凈流量Φ(Xi)如公式(12)所示。然后對備選進行方案排序，凈流量越大，證明備選方案越好。

Φ(Xi)=Φ+(Xi)-Φ-(Xi)

(12)

表2 PRPMETHEE II中概率語言1～9粒度具體說明

3 算例分析

經專家組討論，得出續航時間(C3)為最優準則，防水性能(C1)為最劣準則，采用概率語言術語對準則間的比較進行評價，通過將最優準則C3與其他準則Ci進行對比，得出與各準則的比較值如表3所示。同理，將最劣準則C1與其他準則Ci進行對比，得出與各準則的比較值如表4所示。

表3 最優準則與其他準則的比較值

表4 最劣準則與其他準則的比較值

利用公式(3)～(6)將表3與表4的概率語言評價信息通過函數轉化為精確值，得到精確值評價表，分別如表5和表6所示。

表5 將表3概率語言評價值轉化為精確值

表6 將表4概率語言評價值轉化為精確值

通過數學模型(7)，使用MATLAB求得各準則的權重，如表7所示。

表7 各準則的權重值

經過專家組討論，得到每個方案在每個準則上的評價值并用概率語言表示，如表8所示。并通過公式(3)～(6)通過函數將概率語言術語轉化為精確值，如表9所示。

表8 專家組給出的概率語言方案評價信息

表9 方案的概率語言術語評價信息轉化為精確值

根據PROMETHEE II的排序方法，利用公式(8)～(10)，分別求出每個方案的流出量Φ+(Xi)與流入量Φ-(Xi)，再通過公式(11)求出每個方案的凈流量Φ(Xi)。

表10 方案的流出量、流入量、凈流量

通過計算，得出了每個方案的流出量Φ+(Xi)，流入量Φ-(xi)與凈流量Φ(xi)，如表10所示。得到了改裝無人機方案的完全排序結果為X1>X4>X5>X2>X1。所以應該選擇第一種方案對無人機進行改造。

文獻[19]采用AHP-PROMETHEE方法來對方案進行排序，采用本文案例的數據，用文獻[19]所提方法進行計算，與本文方法進行對比。首先將概率語言與AHP相結合，通過之前的數據，構建專家評價矩陣如表11所示。

表11 AHP評價矩陣

根據表格可以看出AHP的比較次數為25次，而本文所使用的BWM只需要7次比較。通過公式(3)～(6)將評價矩陣中的概率語言轉化為精確值，如表12所示。再利用MATLAB計算得出各準則權重分別為w1=0.0756，w2=0.0372，w3=0.4050，w4=0.1398，w5=0.3425。與BWM中求出的準則權重排序一致，根據表7與表8，利用公式(8)～(11)，求出方案的流出量Φ+(xi)，流入量Φ-(xi)與凈流量Φ(xi)，如表13所示。得出的排序結果為X1>X4>X5>X2>X1。對比方法與本文所提方法計算結果排序一致，但可以明顯看出當指標值過多時，對比方法使用AHP求權重就顯得尤為復雜，指標越多，成對比較的次數越多于BWM中的比較次數，所以當指標過多時，對比方法明顯不適用。

表12 AHP評價矩陣中的概率語言轉化為精確值

表13 利用AHP與PROMETHEE II結合得出方案的流出量、流入量、凈流量

4 結論

本文針對多準則決策問題提出了一種新的方法，所提的方法具有如下的特點：

(1)將概率語言作為評價語言與BWM結合計算準則的權重，并且BWM法比較次數少于傳統的的AHP法，因此所提方法即保證評價信息準確性與有效性，又保證了計算的方便性。

(2)選用PROMETHEE II法作為排序方法，避免了決策補償性對決策排序的影響，同樣選用概率語言作為評價信息，保證了評價信息的準確性。

所提方法已用于某企業改進無人機設計方案的評價分析，通過實證分析，驗證了所提方法的有效性和可行性。本文考慮了備選方案準則權重的判定及排序，下一步還會進一步討論多準則群決策的評價與分析。