從實驗熔合激發函數抽取勢壘高度

崔丹騰，溫培威，林承鍵,*，賈會明，王 寧，楊 磊，馬南茹，王東璽，楊 峰，徐新星，孫立杰，鐘福鵬，鐘善豪

(1.廣西師范大學 物理科學與技術學院，廣西 桂林 541004；2.中國原子能科學研究院 核物理研究所，北京 102413)

重離子一般指較α粒子重的原子核，必須滿足兩個粒子之間有一定的相對運動能量才能發生核反應。重離子相互作用主要由排斥的庫侖勢VC和吸引的核勢VN組成，兩種不同性質的相互作用在一定距離處形成1個勢壘，即庫侖勢壘，其高度VB在反應中扮演著重要角色。如對于熔合反應，即彈核克服庫侖勢壘被勢阱俘獲并形成復合核的過程，當反應能量E>VB時，彈核越過勢壘被俘獲，稱為壘上熔合，這是經典的俘獲過程；當E≤VB時，彈核穿過庫侖勢壘被俘獲，稱為壘下熔合，這是量子隧穿過程[1]。由此可見，庫侖勢壘的高度VB扮演了1個經典機制和量子機制轉換點的角色。近壘反應通常是指反應能量相對于庫侖勢壘高度而言的。

熔合反應對于理解核力、超重核合成以及天體核合成等具有重要的意義，相關研究引起了關注。勢壘高度是描述熔合反應的基本參數，目前已有較多理論模型來描述[2-5]，但給出的結果差別較大。由于勢壘高度不能直接測量，需結合理論模型才能給出，因此存在一定的模型相關性[6-7]。

鑒于庫侖勢壘高度的重要性，本工作將采用一種新方法從實驗數據提取庫侖勢壘高度，以降低所提取的參數對理論模型的依賴。考慮到目前很多體系已有高精度熔合激發函數的測量值，因此該方法主要思路是擬合實驗熔合激發函數，將得到的截面與能量乘積對能量進行一階微分得到穿透系數T，然后通過T確定勢壘高度。還對所提取的勢壘高度與不同理論模型預言的勢壘高度進行系統分析比較，如Bass勢[2]、親近勢[3]、CW76勢[4]、BW91勢[5]等，并對勢壘高度隨同位旋自由度的變化進行研究。

1 物理模型和擬合方法

采用實驗熔合截面與能量的乘積相對于能量的一階微分作為T，并將該T最大值一半的位置定義為VB，由如下條件得出：

(1)

其中：E為質心系反應能量；σfus為實驗熔合截面。該公式只涉及實驗熔合截面和反應能量，因此所定義的VB不依賴于理論模型。任何滿足該定義的理論模型在實驗誤差范圍內均能擬合出相同的結果。在實際操作中，將采用不同理論模型來擬合一些具有代表性的實驗熔合激發函數，根據上述定義得到VB。

1.1 耦合道模型

重離子熔合反應是一個復雜的多維量子隧穿過程，涉及到眾多自由度之間的耦合，如兩核相對運動自由度與核內部集體運動自由度之間的耦合。獲得多維量子隧穿概率的一個標準方法是求解耦合道薛定諤方程。目前已發展了多個耦合道模型，如完全耦合道的CCFULL模型等[8]。CCFULL模型因能處理徑向運動和集體運動之間的全階耦合，并能精確數值求解耦合道方程，所以得到廣泛應用。耦合道方程通常表示為：

(2)

ψn(r)=

(3)

(4)

在CCFULL模型擬合實驗熔合激發函數時，采用常用的Woods-Saxon勢，即：

(5)

式中：V0為勢強度；R為相互作用半徑；a為表面彌散寬度。在考慮不同耦合的情況下，通過擬合這3個參數以符合實驗熔合截面，進而根據式(1)提取VB。

1.2 Wong公式

在一維WKB勢壘穿透公式的基礎上，采用勢壘分布拋物線近似、勢壘位置以及曲率與角動量無關近似，并假設角動量連續變化，可得到一維勢壘穿透Wong公式[9]。該公式形式簡單，不依賴于具體的相互作用勢，能較好描述無耦合時勢壘能區的熔合截面，被廣泛應用。依據Wong公式，熔合截面可表示為：

(6)

(7)

1.3 擬合方法及實驗數據

擬合是通過尋找最小的每點χ2實現，每點χ2定義為：

(8)

本工作共采用12組實驗熔合反應體系：16O+112,116Sn[10]，32S+90,94,96Zr[11-12]，36S+90,96Zr[13]，32S+112,116,120Sn，40Ca+40Ca[14]和48Ca+48Ca[15]。這些實驗體系是比較常見的體系，實驗數據精度高、測量結果可靠，被關注較多，且包含不同的同位素，可研究勢壘高度的同位旋相關性。

2 擬合結果與討論

2.1 擬合截面和勢壘高度提取

本工作采用CCFULL模型和Wong公式兩種方法擬合實驗熔合激發函數。在CCFULL模型的擬合中，需考慮合適的集體振動與徑向運動的耦合，選取的耦合條件列于表1、2。表1列出了CCFULL模型計算中考慮的集體振動條件，包括激發態的自旋和宇稱λπ、激發能Eλ、形變參數βλ和聲子數NPh。另外，對于一些反應體系，如32S+90,94,96Zr等存在著明顯的正Q值中子對轉移引起的壘下熔合截面增強現象[11-12]。因此在采用CCFULL模型擬合計算中，也考慮了正Q值中子對轉移的貢獻。表2列出了CCFULL模型計算中考慮的集體振動耦合徑向系數rcoup和Q。在以上耦合條件下，調節Woods-Saxon相互作用勢的V0、R和a符合實驗熔合激發函數后，通過式(1)可抽取實驗勢壘高度。

表1 CCFULL模型計算中考慮的原子核集體振動的參數Table 1 Adopted collective vibration parameters in CCFULL model calculation

表2 CCFULL模型計算中考慮的Q和rcoupTable 2 Adopted Q and rcoup in CCFULL model calculation

可看到，圖2中壘上能區實驗值的漲落和誤差較大，理論值與實驗值存在一定的偏差。需說明的是，壘上能區實驗值漲落和誤差大是方法本身固有的問題。從實驗熔合激發函數抽取T是采用數值一階微商的方法(式(1))，由于壘上能區熔合截面大，在相同能量步長dE下，d(Eσ)較壘下能區大很多，且截面測量的絕對誤差也會傳遞到抽取的穿透系數中，導致壘上能區實驗T的漲落和誤差均很大。這與從實驗熔合激發函數抽取的勢壘分布在壘上的漲落和誤差大的原因一致[16]。然而，擬合實驗熔合激發函數抽取VB時，一方面，壘下截面對VB極其敏感，呈數量級的變化；另一方面，截面擬合后微商得到的理論T在壘上較高能區呈飽和，即相應于穿透概率P=1的情況，由此確定P=0.5處的VB。圖2中壘上實驗T的漲落和誤差對所抽取的VB影響不大。

圖1 不同反應體系的熔合截面隨質心入射能量的變化Fig.1 Fusion cross sections for different reaction systems with respect to incident center-of-mass energy

2.2 不同模型預測勢壘對比

圖2 穿透系數隨能量的變化Fig.2 Tunneling coefficient with respect to energy

表3 由CCFULL模型和Wong公式抽取的庫侖勢壘高度Table 3 Extracted Coulomb barrier heights by CCFULL model and Wong formula

表4 不同理論相互作用勢模型預測的勢壘高度Table 4 Coulomb barrier heights predicted by different theoretical potential models

高的原因一致。另外，Bass80和WKJ公式的預測結果與本工作中由CCFULL模型從實驗值抽取的勢壘高度吻合最好。

圖3 不同理論模型的庫侖勢壘高度與CCFULL模型擬合得到的勢壘高度的比值Fig.3 Ratio of Coulomb barrier heights predicted by different theoretical models and CCFULL model

2.3 勢壘同位旋相關性研究

本工作選擇的12組實驗熔合反應體系具有一定的同位旋相關性，可研究勢壘高度隨靶核同位旋不對稱度η=(N-Z)/A的變化。以32S+ASn和32S+AZr體系為例，結果示于圖4。可看出，隨著同位旋不對稱度的增加，勢壘高度逐漸減小，這是中子數逐漸增多的效應。另外，CCFULL模型從實驗值抽取的結果與Bass80和WKJ公式一致，這與從圖3得到的結論相同，說明這兩個理論模型均能較好地預測實驗結果，可為其他體系勢壘高度的預測提供參考依據。

圖4 由Bass80模型、WKJ公式和CCFULL模型得到的庫侖勢壘高度隨32S+ASn和32S+AZr體系的同位旋不對稱度的變化Fig.4 Coulomb barrier height with respect to isospin asymmetry for 32S+ASn and 32S+AZr by Bass80 model, WKJ formula and CCFULL model

3 小結

本文運用CCFULL耦合道模型和Wong公式，通過調節相應參數，擬合實驗熔合激發函數以抽取勢壘高度。根據熔合截面與能量乘積的一階微分得到穿透系數，其最大值一半的位置即為勢壘高度。該方法不依賴于理論模型，能抽取出較穩定的勢壘高度。本研究選取了12組熔合反應體系，包括16O+112,116Sn、32S+90,94,96Zr、36S+90,96Zr、32S+112,116,120Sn、40Ca+40Ca、48Ca+48Ca。這些實驗體系較常見，實驗數據精度高、測量結果可靠，被關注較多，具有一定的代表性。通過調節相應參數，理論計算均能符合實驗熔合反應數據。通過對比從實驗值抽取出的庫侖勢壘高度和不同理論模型計算的結果，發現各理論模型計算的結果與從實驗穿透系數中抽取的勢壘高度的結果相差不大，但大部分偏高。通過系統的分析與比較后發現，Bass80模型和WKJ公式的結果與本工作結果吻合最好，且從勢壘高度隨同位旋不對稱度的變化中也可印證該結論。在以后推測其他熔合反應的勢壘高度，尤其是合成超重核的熔合反應勢壘高度時，可優先考慮Bass80和WKJ公式，這將為探索合成未知超重核素的某些關鍵問題提供重要理論參考。