關(guān)于代數(shù)系統(tǒng)的挖補定理

謝祥云

（五邑大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

何為挖補？顧名思義就是挖去一塊再補上一塊.譬如，我們穿的一件襯衫（A），發(fā)現(xiàn)胸部口袋（B）壞了，當然B 是A 的一個部分，是“原裝”.現(xiàn)在我們要修補，找一塊和B 大小材料以及顏色一樣的布料C 將B 替換下來，這樣我們就得到了一件修補好的襯衫D，當然D 已經(jīng)不是原來的A 了，但它非常像A 可以看作“高仿”，這高仿過程中當然離不開B 和C.這樣的例子我們在代數(shù)學中有類似的類比案例，那就是代數(shù)學中的挖補定理.我們清楚，挖補只是一個形象的說法，能給我們抽象的代數(shù)思維留下一個想像的落腳點，實際上它是代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)定理的一部分，這個定理在抽象的代數(shù)學同構(gòu)的構(gòu)造中扮演著非常重要的角色，張禾瑞編著的《近世代數(shù)》教材［1］在環(huán)的構(gòu)造前講授了該定理，這個定理為后面的分式域的構(gòu)造，環(huán)的構(gòu)造，多項式分裂域存在及唯一性證明等都起到了非常重要的作用，吳品三教授的近世代數(shù)［2］教材中也談到該定理，但是敘述高度濃縮，學生不容易讀懂.盧占會［3］對該定理作了一些推廣.遺憾的是后來出版的大量近世代數(shù)教材對該定理均做了淡化處理，作為代數(shù)學同態(tài)定理的一部分教授.作為代數(shù)學初學者讀懂理解該定理的意義及證明是非常重要的，同學們也很感興趣那補丁C 是怎么有機的融合到D 中去的？

張禾瑞編著的《近世代數(shù)》教材于1978 年出版，是基于讀者僅具有高中數(shù)學基礎(chǔ)的情況下編寫的，用的數(shù)學語言和現(xiàn)代代數(shù)學語言差異很大，學生看不到嚴格的數(shù)學證明，老師在教學中也很難在數(shù)學道理上講明白，本文基于這個目的對挖補定理給了一個新的嚴格的數(shù)學陳述.

為了簡單化，本文所說的代數(shù)系統(tǒng)均帶有兩個二元代數(shù)運算，文中沒有提及的概念等請參看［4-8］.

設A 是一個非空的集合，映射°:A×A →A 稱為集合A 上的二元運算.帶有運算（二元或n 元）的集合我們稱之為代數(shù)系統(tǒng).需要說明的是對任意元素a,b ∈A，映射°的像°(a,b)我們記為a °b，有時在不至于混淆的情況下我們直接寫成ab.

定義1 設(A,°)和(B,*)是兩個各有一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，φ： A →B 是A 到B 的映射，如果φ 滿足：

稱φ 為代數(shù)系統(tǒng)(A,°)到代數(shù)系統(tǒng)(B,*)的同態(tài)的映射.

當然我們可以進一步地給出

定義2 設(A,+,×)和(B,⊕,?)是兩個各有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，φ： A →B 是A 到B 的映射，如果φ 滿足：

稱φ 為代數(shù)系統(tǒng)(A,+,×)到代數(shù)系統(tǒng)(B,⊕,?)的同態(tài)的映射.

如果φ 是滿射，單射和雙射我們分別稱φ 為滿同態(tài)映射，單同態(tài)映射和同構(gòu)映射.當φ 為滿同態(tài)映射或同構(gòu)映射時，我們稱這兩個代數(shù)系統(tǒng)是同態(tài)的或同構(gòu)的.

從代數(shù)系統(tǒng)的定義來看，擁有同樣一個承載集的代數(shù)系統(tǒng)就有成千上萬個，個個都要研究？個個都有用嗎？不是的，首先我們關(guān)注系統(tǒng)中運算要有良好的性質(zhì)，那就是運算律，同時也要關(guān)注系統(tǒng)內(nèi)部不同運算之間的關(guān)聯(lián)；其次我們通過同構(gòu)這一個工具對系統(tǒng)作一個分類，也即將“幾乎一致”的系統(tǒng)歸為一類，那什么是幾乎一致呢？就是系統(tǒng)的靈魂一致，這就需要我們對不同系統(tǒng)做不同的考究.我們下面考慮環(huán)

定義3 一個帶有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)(R,+,°)稱為環(huán)，如果R 滿足：

1） (R,+)是一個加群；

2） (R,°)是一個半群；

3）對(R,+,°)中任意三個元素a,b,c ∈R，乘法滿足對加法的左右分配律：

引理4 設(R,+,×)是帶有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，B 是非空集合且集合R 和B 之間有一個雙射φ 存在，那么可以在B 上定義兩個二元運算⊕和?使得代數(shù)系統(tǒng)(R,+,×)和代數(shù)系統(tǒng)(B,⊕,?)同構(gòu).

證明 首先我們需要在集合B 上構(gòu)建兩個二元運算.對B 任意的兩個元素a,b ∈B，定義：

由于映射φ 是雙射，不難看出對B 兩個元素a,b ∈B，a⊕b 和a ?b 都是唯一的，即⊕和?均為B上的二元運算.

為了證明φ 是這兩個代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)，根據(jù)定義2，我們僅需要驗證：對任意的x,y ∈R ，φ(x+y)=φ(x)⊕φ(y);φ(x×y)=φ(x)?φ(y).事實上，根據(jù)這兩個運算的定義以及雙射的性質(zhì)，我們有

證畢.

反過來，我們還有

引理5 設(R,+,×)是帶有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，B 是非空集合且是φ 集合B 到環(huán)R 的雙射，那么可以在B 上定義兩個二元運算⊕和?使得代數(shù)系統(tǒng)(B,⊕,?)和代數(shù)系統(tǒng)(R,+,×)同構(gòu).

證明 首先我們需要在集合B 上構(gòu)建兩個二元運算.對B 任意的兩個元素a,b ∈B，定義：

由于映射φ 是雙射，不難看出對B 兩個元素a,b ∈B，a⊕b 和a ?b 都是唯一的，即⊕和?均為B上的二元運算.

為了證明φ 是這兩個代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)，根據(jù)定義2，我們僅需要驗證：對任意的x,y ∈B ，φ(x⊕y)=φ(x)+φ(y);φ(x ?y)=φ(x)×φ(y).事實上，根據(jù)這兩個運算的定義以及雙射的性質(zhì)，我們有

證畢.

我們可以從字面上大致理解什么是同態(tài)，即狀態(tài)相同，或者說系統(tǒng)A 的特征、代數(shù)性質(zhì)沿著箭頭方向傳送給了B，但是B 的特征一般不能上傳；所謂同構(gòu)就是兩個代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相同，雙方的性質(zhì)，特征可以互傳，即你中有我，我中有你！例如，由引理4我們根據(jù)［1］中相關(guān)的結(jié)論容易得出.

引理6 設(R,+,×)是環(huán)，B 是非空集合且集合R 和B 之間有一個雙射φ 存在，那么我們可以在B上定義兩個二元運算⊕和?使得(B,⊕,?)是環(huán)，且環(huán)(R,+,×)和(B,⊕,?)同構(gòu).

有了上述準備后我們給出挖補定理

圖1 挖補定理示意圖