預見第二屆阿里巴巴全球數學競賽預選賽首輪首題的論文及勘誤

【摘要】：從第二屆阿里巴巴全球數學競賽首輪真題第一題引出半年前一篇預見該類真題的論文，并引用該輪文研究成果解答該題，指出正確答案。進一步指出該論文中表格實驗數據的疏誤并予以說明和糾正、補充。

【關鍵詞】：數學競賽 魔比斯環 拓撲幾何 阿里巴巴

一、???????? 論文提前半年預見真題

阿里巴巴全球數學競賽由馬云發起，是全球唯一的在線數學比賽。該競賽由阿里巴巴達摩院舉辦，面向全球的數學愛好者，以引導人們發現數學之美、助力數學研究、激發數學學習熱忱，讓全社會在推進科技發展的同時也不忘基礎學科的重要性。該賽事于 2018 年開啟首屆比賽。2020年3月14日，第二屆比賽正式開賽，本屆大賽選定3.14圓周率日（πday）開賽，以此“致敬數學”并點燃全球數學愛好者的大派對。3月16日上午8點，第二屆阿里巴巴全球數學競賽預選賽第一輪比賽完結。阿里巴巴達摩院方面表示，在經歷了48小時競逐之后，全球5萬多報名者共有超過1.5萬人提交了答卷。而阿里巴巴官方也在第一時間公開了試題。

第二屆阿里巴巴全球數學競賽預選賽第一輪比賽一共4道題。其中第一題是一道單選題（見圖1），實際上是拓撲幾何領域關于莫比烏斯帶或稱魔比斯環的一個考題，是關于多旋圈面扭 n 圈后沿中線剪開形成的圈面的構造情況，具體而言是扭轉100圈和扭轉2019圈的兩種多旋圈面沿中線剪開后得到的結果會是什么樣子。

令人稱奇的是，發表在《教育周報·教育論壇》2019年8月第八期第34頁上的一篇論文《基于魔比斯環的拓展實驗和性質初探》（見圖2）不僅“神預言”般地提前半年多揭示了考題的多種出題思路，而且給出了一系列參考答案，甚至指出了進一步研究的方向，簡直就是該類考題的一個“題庫”。

二、???????? 論文揭示真題正確答案

上述單選題中扭轉100圈和扭轉2019圈的兩種多旋圈，實際上對應于上文提及的論文中“初始扭轉為偶數（100）*π的紙圈”和“初始扭轉為奇數（2019）*π的紙圈”。

初始扭轉為偶數*π的紙圈沿中線裁剪后的情況相對簡單，沿中線剪第一次后得到2個紙圈，并且這兩個紙圈每個的扭轉數跟初始紙圈扭轉數相同，因此扭轉100圈的多旋圈沿中線剪開后將得到2個100旋圈面。

初始扭轉為奇數*π的紙圈沿中線裁剪后的情況則比較復雜。根據上述論文的研究結果，奇數*π的紙圈沿中線裁剪后得到的紙圈不僅有相互纏繞甚至自身纏繞的情況，并且扭轉數有變化，即不等于初始扭轉數，也不等于初始扭轉數的兩倍。

綜合上述兩種情況，則第一題的正確答案是B，即扭轉100圈和扭轉2019圈的兩種多旋圈沿中線裁剪后，將得到“兩個100旋圈面，一個非上述構造的圈面” 。

三、???????? 論文的疏誤及修正

不過，上述論文表格中存在疏誤。初始扭轉1*π的紙圈沿中線剪第1次后得到1個扭轉4*π的紙圈，之后再沿中線剪開即為偶數*π紙圈沿中線剪開的情況，故其剪開后的每個紙圈的扭轉情況等同于初始扭轉情況，不再變化。并且初始扭轉1*π的紙圈沿中線剪第4次的情況即等同于初始扭轉4*π的紙圈沿中線剪第3次的情況，即相關實驗數據可以直接轉摘過來予以補充。修正之后的表格數據如表1所示。

【參考文獻】

[1] 沈敏.基于魔比斯環的手工實驗和性質初探[J].教育周報·教育論壇，2019，8（8）：34

[2] 溫柔的養貓人. 第二屆阿里巴巴全球數學競賽試題（預選賽第一輪）[EB/OL].（2020-03-17）[2020-03-22]. https：//developer.aliyun.com/article/750034

[3] 機器之心. 2020阿里全球數學競賽首輪預選賽：5萬人參賽，決賽難度堪比美高校博士入學考試[EB/OL].（2020-03-17）[2020-03-22]. https：//tech.sina.com.cn/roll/2020-03-17/doc-iimxxstf9687773.shtml