“三維切割法”巧助三視圖還原幾何體

【摘?要】三視圖是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，是高考命題的熱點(diǎn)。通過(guò)三視圖的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于三視圖有一定的認(rèn)識(shí)，但由于空間想象力不足，導(dǎo)致如何根據(jù)三視圖還原幾何體成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。研究者對(duì)此進(jìn)行了深入研究，通過(guò)多媒體技術(shù)進(jìn)行處理，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的、直觀的問(wèn)題，幫助學(xué)生進(jìn)行理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù);三視圖;深度融合

【作者簡(jiǎn)介】羅宇軍，中學(xué)高級(jí)教師。

【基金項(xiàng)目】廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題“信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂深度融合的策略研究”（2019B144）

數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的形式化抽象特征，如精深的數(shù)學(xué)概念、煩瑣的演算過(guò)程、復(fù)雜的數(shù)形關(guān)系和多變的幾何位置關(guān)系等，往往由于教與學(xué)手段的限制而令人?“望而卻步”。運(yùn)用學(xué)科軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，能改變?“重形式定義，輕意象表征”的教學(xué)模式。數(shù)學(xué)教學(xué)從整合走向融合，需要建立圖形圖像、符號(hào)表達(dá)與數(shù)值處理間的多元表征聯(lián)系，需要嚴(yán)謹(jǐn)、精確和形式化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程描述，需要構(gòu)建與數(shù)學(xué)研究相適應(yīng)的、豐富的探索性認(rèn)知環(huán)境[1]。

三視圖是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，也是學(xué)生建立空間觀念的開始。學(xué)生從初中開始接觸三視圖，到了高中階段加以學(xué)習(xí)，其對(duì)于三視圖已有一定的認(rèn)識(shí)，但由于空間想象力不足，根據(jù)三視圖還原幾何體成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

一、問(wèn)題的提出

（2014·全國(guó)Ⅰ卷，理12）如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）

A.62B.6C.42D.4

圖1

這道題目是2014年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷選擇題的第12題，難度不低。筆者在一次測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，所教的高三年級(jí)其中一個(gè)班66人中只有7人做對(duì)，這一結(jié)果讓筆者感到非常震驚，于是找了一些學(xué)生進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生由于空間想象力不足，無(wú)法還原出原來(lái)的幾何體。在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師在講授這部分知識(shí)的時(shí)候通常感到“力不從心”。因此，筆者對(duì)此進(jìn)行了專題研究，結(jié)合信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，利用玲瓏畫板的3D和“任意切割”功能，根據(jù)三視圖的特點(diǎn)，總結(jié)出用“三維切割法”還原三視圖。

二、實(shí)驗(yàn)過(guò)程

1.實(shí)驗(yàn)前測(cè)

筆者充分利用課堂派軟件互動(dòng)性功能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)前測(cè)。課前呈現(xiàn)2014年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷選擇題第12題，并給學(xué)生3分鐘時(shí)間獨(dú)立完成，然后利用手機(jī)進(jìn)入課堂派平臺(tái)進(jìn)行提交。教師在課堂派平臺(tái)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，35人的實(shí)驗(yàn)樣本中只有3人答對(duì)，說(shuō)明學(xué)生對(duì)該題的解題能力尚有欠缺。由此，筆者設(shè)置本節(jié)課的問(wèn)題情境：三視圖如何還原幾何體？

2.教學(xué)過(guò)程

根據(jù)三視圖的定義，三視圖的形成主要是由三束不同方向的光照射形成的。筆者制作了如圖2～4的動(dòng)畫圖形，展示三視圖的形成過(guò)程。通過(guò)展示，學(xué)生不僅理解了三視圖，而且也理解了為什么三視圖是這樣排列的。與此同時(shí)也帶給我們解決問(wèn)題的靈感：三個(gè)維度的面圍成一個(gè)長(zhǎng)方體（或者正方體），是不是就可以以一個(gè)長(zhǎng)方體（或者正方體）作為“基礎(chǔ)幾何體”，把“三個(gè)方向照射”類比為“三個(gè)方向切割”，即“三維切割法”還原三視圖。

研究發(fā)現(xiàn)，既然三視圖的形成主要是由三束不同方向的光照射形成的，要得到滿足條件的幾何體，必須是正視圖、側(cè)視圖、俯視圖全部滿足才可以，下文以問(wèn)題1為例進(jìn)行說(shuō)明。

問(wèn)題1：如圖5，是某幾何體的三視圖，該幾何體直觀圖的最大面是什么形狀？

步驟一：構(gòu)造基礎(chǔ)幾何體（如圖6），然后利用玲瓏畫板按照?qǐng)D7的位置進(jìn)行切割（正面切割），得到幾何體（如圖8-a）。此時(shí)，可以使用系統(tǒng)的“三視圖”功能進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)其中的正視圖和原來(lái)的吻合（如圖8-b）。

步驟二：在步驟一得到的幾何體（如圖9）基礎(chǔ)上，再按照?qǐng)D10的位置進(jìn)行切割（側(cè)面切割），得到幾何體（如圖11-a）。此時(shí)，可以使用系統(tǒng)的“三視圖”功能進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)其中的正視圖與側(cè)視圖和原來(lái)的都吻合（如圖11-b）。

步驟三：在步驟二得到的幾何體（如圖12）基礎(chǔ)上，再按照?qǐng)D13的位置進(jìn)行切割（俯面切割），得到幾何體（如圖14-a）。此時(shí)，可以使用系統(tǒng)的“三視圖”功能進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)其中的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖和原來(lái)的全部吻合（如圖14-b）。由此可知，所探求的幾何體就是圖14-b中的透視圖，從而輕松解決三視圖還原幾何體的問(wèn)題。

雖然利用信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，比較輕松地解決了三視圖還原幾何體的問(wèn)題，也清晰地展示了還原的全過(guò)程，但是，在學(xué)生沒(méi)有電腦的前提下如何進(jìn)行教學(xué)呢？通過(guò)課題組的討論與探索，筆者發(fā)現(xiàn)可以讓學(xué)生通過(guò)用鉛筆畫圖，然后用橡皮擦實(shí)現(xiàn)模擬“三維切割法”完成上述過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中可以以教師一邊演示，學(xué)生一邊用橡皮擦模擬切割的方式進(jìn)行教學(xué)，教師巡堂進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)。隨后由學(xué)生進(jìn)行小組合作探究以下問(wèn)題。

問(wèn)題2：如圖15，是某幾何體的三視圖，且該幾何體的體積是3，則正視圖中x的值是（）

A.2B.92C.32D.3

學(xué)生利用手機(jī)通過(guò)課堂派軟件提交答案。發(fā)現(xiàn)學(xué)生通過(guò)用橡皮擦模擬切割的方法可以輕松地解決這個(gè)問(wèn)題。然后教師通過(guò)玲瓏畫板幫助學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證（如圖16～17），還可以通過(guò)課堂派軟件反饋的信息，提問(wèn)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生。

3.實(shí)驗(yàn)后測(cè)

由學(xué)生獨(dú)立解決本文開始提出的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)少數(shù)學(xué)生在“第二維切割”時(shí)存在困難（由于正視圖三角形中間有一條線，直接切割并不能得到所需正視圖）。此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：能否打亂順序進(jìn)行切割，即能否先切割出俯視圖。最后，教師進(jìn)行實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證（如圖18～20），發(fā)現(xiàn)同樣能夠還原幾何體。

此時(shí)學(xué)生雖然知道了幾何體的形狀，但是其中的線面與基礎(chǔ)幾何體之間的關(guān)聯(lián)并不是很清楚，這時(shí)，教師可以通過(guò)系統(tǒng)的“幾何體恢復(fù)”功能，進(jìn)行下面的操作。

步驟四：先把所得到的幾何體更換顏色（主要目的是要區(qū)別于切割出來(lái)的其他幾何體）（如圖21），然后利用玲瓏畫板的“平移復(fù)原”功能，得到原來(lái)的基礎(chǔ)幾何體（如圖22）。和之前不一樣的是，三視圖還原出來(lái)的幾何體與基礎(chǔ)幾何體的關(guān)系已經(jīng)非常清楚地反映在圖形中，此時(shí)問(wèn)題就可以迎刃而解了。

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)于本文開始提出的問(wèn)題，筆者用課堂派軟件統(tǒng)計(jì)了35名學(xué)生實(shí)驗(yàn)前和實(shí)驗(yàn)后的答題情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖23。

根據(jù)數(shù)據(jù)表明，實(shí)驗(yàn)前和實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生答題的正確率差異還是比較明顯的，充分說(shuō)明了通過(guò)實(shí)驗(yàn)，大多數(shù)學(xué)生都掌握了運(yùn)用“三維切割法”還原三視圖的方法。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

由此看出，“三維切割法”能夠顯著提升學(xué)生三視圖還原幾何體的能力。

四、結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用信息技術(shù)有助于將教學(xué)難點(diǎn)簡(jiǎn)化，增強(qiáng)學(xué)生的理解能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，一些知識(shí)比較抽象，難以理解，教師可以將這些內(nèi)容通過(guò)多媒體技術(shù)進(jìn)行處理，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的、直觀的圖文或者試聽材料，幫助學(xué)生進(jìn)行理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、由淺入深、事半功倍的教學(xué)效果?[2]。

值得注意的是，課堂派軟件使用了手機(jī)進(jìn)行技術(shù)融合，由于學(xué)生的自控力不足，筆者建議在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確使用手機(jī)。本文把實(shí)驗(yàn)過(guò)程和具體步驟進(jìn)行了詳細(xì)闡述，教師參照進(jìn)行相對(duì)應(yīng)的教學(xué)，將起到一定的引領(lǐng)和示范作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]張志勇.用與不用不一樣：信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)走向深度融合的途徑與策略[J].中小學(xué)信息技術(shù)教育，2016（1）：63-65.

[2]張守杰.?信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)深度融合教學(xué)法的五大優(yōu)勢(shì)[J].?考試周刊，2018（6）：95.