2019年全國卷I理科20題探析①

易華 龍光鵬

1.試題呈現

試題：已知函數，是函數的導函數.

（1）證明：在區間存在唯一極大值點;

（2）證明：有且僅有兩個零點.

這是2019年全國卷I的理科第20題，本題考查利用導數求函數的極值、判斷函數的零點，考查數形結合、分類討論與化歸轉化思想。

2019年高考全國卷I的理科和文科的導數綜合題都融合了三角函數，高考改卷時發現很多學生基本沒有解題思路。學生的困惑在哪里？

2.解法揭秘

因為，所以，則繪制函數的圖像，如圖1所示：

由圖1知，能清晰地看出在區間存在唯一極大值點。

分別繪制函數與函數圖像，如圖2所示：

由圖2知函數與函數圖像有兩個交點，則有且僅有兩個零點。

故該試題的解題思路如下：

解析：（1）因為，所以，

設，則，所以，

當時，單調遞減，單調遞減，

所以單調遞減，又因為，

，所以在上存在唯一的零點，

則當時，，所以在上單調遞增;

當時，，所以在上單調遞減，

所以在區間存在唯一極大值點，

即在區間存在唯一極大值點。

（2）因為，所以函數的定義域為，

①當時，，，所以，則沒有零點;

②當時，，則是函數的一個零點;

③當時，因為，

即在上存在唯一的零點，則，如圖3，

當時，，所以在上單調遞增，

當時，，所以在上單調遞減，

又因為，，

如圖4，所以在上，，則沒有零點.

④當時，，所以函數

在上單調遞減，又因為，，

所以函數存在一個零點;

⑤當時，，，所以，

則沒有零點;

綜上，有且僅有兩個零點。

評析：試題主要要求學生具備以下三個方面的解題處理策略：①當一個函數的導函數不“透徹”時，采用繼續求導的方式研究函數的導函數性質;②利用零點存在定理時，要密切關注函數值的正負;③函數零點存在，但不可求時，應采用設而不求的思想處理。

3.突破瓶頸

面對上述的解析，學生很困惑，主要有兩個方面：①在測試的時候學生沒有作圖工具，沒辦法準確地畫出圖1和圖2的圖像，所以沒辦法直觀地感知，故沒有解題思路;②第二問中的分類討論中，為什么以和為界限呢？

在教學時，筆者認為應該關注學生的認知特征，對學生學習中出現的困難不回避，面對困惑應進行詳細講解。那么采取怎樣的措施幫助學生克服難點呢？筆者嘗試從以下兩個方面進行突破。

3.1問題解剖

筆者在處理試題的第（2）問之前，先引導學生思考下面兩個命題：

命題1：在上恒成立.

證明：令，，所以，

設，所以，

當時，為減函數，為減函數，

所以在上單調遞減，

又因為，，

所以在上存在唯一的零點，則，如圖5，

當時，，所以在上單調遞增，

當時，，所以在上單調遞減，

又因為，，，

所以在上存在唯一的零點，則，

即，，，

即在上存在唯一的零點，則，如圖6，

當時，，所以在上單調遞增，

當時，，所以在上單調遞減，

又因為，，如圖7，

所以在上，，即.

命題2：若，則函數的圖像與函數圖像有且僅有一個交點.

證明：構造函數，，

①當時，由命題1知，，沒有零點，則沒有交點.

②當時，，所以函數在上單調遞減，又因為，，所以函數存在一個零點;

綜上，時，函數的圖像與函數圖像有且僅有一個交點。

3.2巧用（1）的結論

在求解導數綜合題的第（2）問時，一定要充分利用第（1）問的結論。

因為，，由（1）知，當時，的圖像大致如下圖8所示：

所以我們可以考慮將作為分類討論的分界限來處理問題，即第（2）問可以得到如下解法：

因為，定義域為，，

①當時，因為，如圖8，時，，時，，所以時，，沒有零點;時，，沒有零點;是函數的一個零點;

②當時，因為，則在上單調遞減，因為，，所以在上存在唯一的零點，則，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，又因為，，所以在上，函數存在一個零點;

③當時，，，所以，沒有零點;

綜上，有且僅有兩個零點。

通過上述方式講解這道試題后與部分學生交流發現，這種做法是有效的，有助于學生理清這道高考題的解題思路，有利于提高學生的解題能力，有利于培養學生的核心素養。

作者簡介：

易華（1969-9），漢，女，江西永修，大學本科學歷，中學高級教師，研究方向：數學教育與教學。

★ 本文系江西省基礎教育研究課題“高考數學命題中學科核心素養的考查方式及其對教學的反撥作用研究”（項目編號：NCSX2019-069）的研究成果.