核心素養下整體關聯教學的應用舉例

張波

摘 要：以“多邊形”和“平方差公式”為例，分別從“框架式”和“文化源”兩個角度進行整體關聯教學，利用數學知識關聯和數學史文化關聯，經歷知識的發生發展過程，感悟數學知識的整體性，培養學生思維，發展學生核心素養。

關鍵詞：關聯;四邊形;平方差公式

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》指出“應注重學科內容選擇、活動設計的有機聯系”[1]，強調課堂教學的整體性設計;比利時教育家德克樂利在19世紀末就提出教學遵循“整體化”和“興趣中心”的原則;章建躍教授在《數學教育之取勢明道優術》中指出“在面對一個新的數學研究對象是，要有“整體觀”，要先為學生構建研究的整體框架”[2]。開展整體關聯教學有利于數學教師在實踐的過程中更好地理解數學學科核心素養的本質，將數學學科教學和人才培養有機融合，促進教學相長;對學生而言，整體關聯教學有利于學生在學習數學過程中較好地構建學科知識體系，真正把握學科本質，最終整體達成涵養數學學科核心素養的目標。

一.以“多邊形”為例的“框架式”整體關聯教學

思考 學生在八年級上冊已經對三角形有了比較深刻而且完整的認識，所以考慮立足三角形相關知識，找到相通，通過與三角形的整體關聯，找到多邊形與三角形相同的本質，在類比中把多邊形同化，建立類似知識系統之間的整體關聯，實現知識的正遷移，實現思維的提升，進而提升學生核心素養。

片段1.概念關聯

出示圖片，抽象出三角形，回顧三角形定義;出示圖片，抽象出四邊形，類比三角形定義得出四邊形定義;進而關聯歸納出多邊形的定義。以此類推，學生自主探究，類比三角形的內角、頂點、邊等概念關聯得到出四邊形和多變形的相關概念。

教師：從這張圖片中我們能抽象出什么圖形？（出示圖片）

眾生：三角形。

教師：三角形是我們已研究過的圖形，它是如何定義的呢？

學生1：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接形成的圖形。

教師：從這張圖片中我們又能抽象出什么圖形呢？（出示圖片）

學生2：四邊形。

教師：對，是四邊形，那么誰能給它下個定義呢？

學生3：由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接形成的圖形。

教師：很好，請問你是怎么得到的呢？

學生3：我是模仿三角形的定義。

教師：對，我們可以類比三角形的定義快速得出四邊形的定義。那么同學們能類比三角形和四邊形的定義歸納出多邊形的定義嗎？

學生4：由不在同一條直線上的若干條線段首尾順次相接形成的圖形。

教師：類比得很好，我們說，在同一平面內，由任意兩條都不在同一條直線上的若干條線段（線段的條數不小于3）首尾順次相接形成的圖形叫做多邊形。接下來請同學們根據剛才的方法，類比三角形的內角、外角、頂點、邊等相關概念，自主探究四邊形的相關概念，進而歸納出多邊形的相關概念。

（學生合作交流，教師引導，完成表格。始終沿著類比三角形概念得出四邊形概念進行關聯探究，進而由特殊到一般，歸納出多邊形概念這一條線貫穿這一環節）

設計分析：奧蘇貝爾指出：影響學習的最重要的原因是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況進行教學。學生在八年級上冊已經對三角形有了深刻而完整的認識，了解了三角形的相關概念，本環節中，教師引導學生類比三角形定義得出四邊形和多邊形定義，讓學生體會在之前學習過程中積累下的三角形相關知識及經驗可以適當遷移，推廣到四邊形學習中來，進而學生以此類推，四邊形的內角、外角、頂點、邊等相關概念的生成自然而然，使得四邊形的新知識可以很快生長出來。

片段2.性質關聯

教師：回顧三角形的探究經歷，三角形概念后我們探究的是三角形的性質，最先了解的是三角形內角和定理，那么同學們知道嗎？

學生5：三角形內角和等于180°。

教師：那么四邊形的內角和等于多少呢？讓我們用我們手上的道具，跟著這張表格一起來探究吧。

（學生根據已有關聯經驗繼續小組交流，合作完成表格。表格中的實驗環節有一定的難度，教師事先給每個小組準備好道具，學生自己創設情境，動手操作。）

設計分析：《標準》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”本環節，通過類比，提出疑問，帶著疑問進行實驗，根據實驗大膽猜想，進而證明，用類比—實驗—猜想—證明的方法師生共同探究四邊形內角和定理，再根據這樣的方法，學生動手實踐、合作交流，自主探究四邊形定理的推論。類比—實驗—猜想—證明這一數學體驗讓學生置身數學活動中，親歷具體的操作過程，感受數學對象，發現數學問題，領悟思想方法，獲取活動經驗，能有效提升學生的數學核心素養。

二.以“平方差公式”為例的“文化源”整體關聯教學

思考 上述課例是通過知識內在邏輯關系建立的體系，教師在關注知識的邏輯順序的同時，應與學生的心理發生順序一致，探究知識究竟為何會產生，追溯知識的發生和發展歷史。關于平方差公式最早可追溯到古巴比倫數學泥版，記載了大量的二元二次方程組問題，當時解決的方法是“和差術”，公元3世紀，古希臘數學家丟番圖也利用和差術來解二元二次方程（如：已知兩數的和為20，乘積為96，求這兩個數）。在中國古代數學中，趙爽在注解《周髀算經》時，給出了平方差公式的幾何證明。后來的希臘數學中，平方差公式和等周問題密切相關，芝諾多魯斯著《論等周圖形》一書，證明了如下命題：“在邊數相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大。”[3]

片段1.現實中的等周問題，引出課例