關注函數本質，培養核心素養

張碧峰

二次函數可以說是初中階段函數的升華，也是高中數學知識銜接的一個重要紐帶。利用數形結合這把金鑰匙，它能帶領學生把圖形中隱含的數量關系挖掘出來，運用形的特征來探索數的規律。如二次函數的增減性和最值性是初中階段研究二次函數的重點和本質。

本文以二次函數最值問題微專題復習課為例，談談如何挖掘二次函數的增減性和最值性的本質。

一、教學本質分析

1、基礎練習

問題1：已知二次函數 .

（1）當 時，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（2）當 時，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

（3）當 時，y的最大值是__________，y的最小值是____________;

學生1：該函數圖像時一個開口向下的拋物線，自變量x的取值都在對稱軸直線x=1的左側，y隨x的增大而增大，所以當x=-3時，取最小值y=-11，當x=-2時，取最大值y=-4。

學生2：自變量x的取值都在對稱軸直線x=1的右側，y隨x的增大而減小，所以當x=2時，取最大值y=4，當x=4時，取最小值y=-4。

學生3：自變量x的取值都在對稱軸直線x=1的兩側，當 時，y隨x的增大而增大，當 時，y隨x的增大而減小，而-2離對稱軸的距離比2離對稱軸的距離遠，所以當x=-2時，取最小值y=-4，當x=1時，取最大值y=5。

教師提問：請思考：已知x的取值范圍求y的最值問題時，

有哪幾類情況？你認為解決此類問題有效的方法是什么？

學生4：有自變量取值范圍在對稱軸左側，

右側，兩側三種情況，利用圖像解決問題。

教師總結：利用數形結合的數學思想是解決這類問題的金鑰匙。

設計意圖：設計這個題目主要讓學生復習如何自變量x在取值范圍內求函數的最值問題，本題分3小題，x的范圍分別在二次函數的對稱軸直線x=1的左側，右側和兩側。讓學生利用二次函數的增減性解決函數的最值問題。

2、拓展練習

問題2：已知二次函數 .

（1）當 時，y的最大值是2n，則n=

（2）當 ，mn<0時，y的最大值為2n，y的最小值為2m，則

m+n=

問題2難度明顯較問題1大，學生通過獨立思考，小組合作討論，由學生代表上臺發言。引導學生畫簡圖。

學生5：因為取值范圍n是未知的，所以用數形結合無法一下子確定最大值在哪里，所以對于n要分類討論。-31時，由圖像可知，最大值是5，即2n=5，n=2.5。所以n=-2或2.5。

學生6：由題意m<0，n>0，m>1是不可能的。當n<1時，由上題可知最大值為2n，n=-2，不合題意舍去。當n>1時，分2類，①n-1<1-m，即m+n<2，當x=m時，取最小值2m，最大值是5，即m=-2，n=2.5，m+n=0.5;②n-1>1-m，即m+n>2，最大值是5，n=2.5，最小值是2m，即當x=n=2.5時，m= ，不合題意舍去。

這兩位學生的回答都非常精彩，是班級里的佼佼者，也是小組討論，集體的精華。

教師提問：請思考：問題2與問題1的區別在哪里？如何把它轉化？

學生7：問題1的拋物線解析式已知，自變量取值范圍已知，而問題2的自變量取值范圍中有字母，所以要分類討論。

教師總結：當自變量的取值范圍未知時，那么我們就要對該取值范圍在對稱軸的左側，右側還是兩側進行分類討論。

設計意圖：本題設計主要讓學生根據圖像的對稱性進行分類討論，探索函數在取值范圍內的單調性和最大最小值問題。

3、深化應用

問題3：當 時，二次函數 有最大值4，則m的值是

學生8：m>1時，對稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的右側，y隨著x的增大而增大，當x=1時，最大是4，即把x=1代入解析式，解得m=2，當m<-2時，對稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的左側，y隨著x的增大而減少，當x=-2時，最大是4，即把x=-2代入解析式，解得 ，不合題意舍去。對稱軸直線x=m在自變量-2≤x≤1的之間，最大值為m2+1=4， ， 符合題意。所以m=2或 。（本題是在教師和學生的共同探索討論得到）。

教師提問：請思考：問題3與問題1的區別在哪里？又該如何把它轉化。

學生9：問題3的自變量的取值范圍已知，拋物線的頂點坐標含有字母m，只要把拋物線的對稱軸在自變量的右側、左側、兩側，即可分類討論。

設計意圖：本題的設計延伸了上一題的問題，學生根據已知自變量的取值范圍，而未知對稱軸的位置，同樣可以轉換為對稱軸在自變量的左側，右側，和兩側進行分類，關鍵還是數形結合和轉換思想，讓學生的思維上升了一個臺階，培養了學生探索問題的能力。

二、教學設計流程

主線：定軸定區間→定軸動區間 →動軸定區間

數學思想：數形結合、分類討論

三、教學思考

1、立足教材，適當延伸教學

初中復習課教學先要立足課本，讓所有學生都掌握基本知識，讓基礎薄弱的學生也獲得成就感，但也要適當的加深教學內容，讓班級中基礎較好的學生在掌握已有的知識的前提下，適當拓展和深化知識點。如本節復習課從最基礎的已知函數和已知自變量的取值范圍內求最值，拓展到已知函數，未知自變量的取值范圍的情況下求字母的值，再深化到已知自變量的取值范圍，未知函數，求字母的值，讓學生觀察體驗函數在自變量取值范圍內的一些特征，有利于發展學生的認知能力。

2、重視知識的形成過程，培養學生的核心素養

學習數學不是死記硬背，而需要學生主動去發現問題，探索問題和解決問題。在初中數學教學中，我們要根據學生的實際情況，培養學生的探究能力和解決問題的能力，由于高中數學對學生學習提出更高的要求，因此，我們在初中數學教學中，要注意打好基礎，例如本節課深化和拓展時通過數形結合得到答案，培養學生的核心素養。

3、關注深度學習，培養探索能力

在數學知識的教學過程中，不僅要讓學生知其然，更應讓學生知其所以然，教師不要讓學生停留在學習的表面，要設計有深度的問題，讓學生深入探索問題的本質，讓學生思維能夠深入發展。這種良好的學習方式有益于今天的數學學習，也有益于將來高中課程的學習，甚至對學生的終身學習都有好處，更好的培養學生的核心素養。本節課的設計中，整節課圍繞著函數的增減性和最值性這個知識點，有易到難，數形結合，培養學生探究問題和深入思考問題的能力，對將來的學習有很大的幫助。

參考文獻

[1] ?施賢宜。關注銜接教學，培養核心素養——以二次函數復習課為例。初中數學教與學