平移法解決有界磁場中的臨界問題

李茂樹　徐婷

1.適用條件：（1）速度大小一定，方向不同。帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運動半徑為R=mv0qB，如圖1所示。（2）軌跡圓圓心，共圓。帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R=mv0qB的圓（這個圓在下面的敘述中稱為“軌跡圓心圓”）上，如圖1中實線所示。

2.方法界定：將一半徑為R=mv0qB的圓沿著“軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“平移法”。

使用該方法要注意兩個點：（1）是軌跡圓平移時與磁場邊界相切時的位置在哪里;（2）是軌跡圓直徑到邊界時的位置在哪里。這兩個臨界位置之間可能就是粒子所能到的區域了。

例1：如圖2所示，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60 T，磁場內有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab玻璃l=16 cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知α粒子的比荷qm=5.0×107 C/kg，現只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區域的長度。

[解析] α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用R表示軌道半徑，有

qvB=mv2R

由此得R=mvqB

代入數值得R=10 cm

可見R

因朝不同方向發射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側與ab相切，則此切點P1就是α粒子能打中的左側最遠點。

再考慮N的右側，任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側的P2點，此即右側能打到的最遠點。

由圖3中幾何關系得

所求長度為P1P2=NP1+NP2

代入數值得P1P2=20 cm

例2：一半徑為R的圓柱形區域內存在垂直于端面的勻強磁場，磁感應強度大小為B，其邊緣放置一特殊材料制成的圓柱面光屏。一粒子源處在光屏狹縫S處，能向磁場內各個方向發射相同速率的同種粒子，粒子的比荷為 ，不計重力及粒子間的相互作用。以下判斷正確的是

圖4

A.若熒光屏上各個部位均有光點，粒子的速率應滿足

B.若僅 光屏上有粒子打上，粒子的速率應滿足

C.若僅 光屏上有粒子打上，粒子的速率應滿足

D.若僅 吉光屏上有粒子打上，粒子的速率應滿足

[解析]若 ， ，即軌跡圓半徑與磁場區域半徑相等，粒子在s點沿水平方向射進磁場時，軌跡圓與磁場邊界剛好吻合，軌跡圓以s點為軸沿“軌跡圓心圓”平移后，只有 熒光屏被粒子打上。若 ，則熒光屏上能被粒子打上的范圍比 光屏還小，所以A，B錯。若 ，軌跡圓半徑 則粒子能打到的最遠點為P（如圖5），其中 ，由幾何關系可得∠POS為120°即能有 被粒子打上光屏，C對。同理，當 ，軌跡圓半徑 ，則粒子能打到的最遠點為P?如圖6， ，由幾何關系得∠P?OS=60°，即有 光屏被粒子打上，D對。