正定二次型及其性質的探討

摘? 要：本文主要探討了正定二次型的理論及其性質，為讀者能夠較正確深入，清晰的理解和掌握正定二次型的理論及其性質，以及如何判別二次型的正定性，提供一些思路，方法和參考。如有不當之處，望讀者給予批評指正。

關鍵詞：正定二次型;正定矩陣;標準型

二次型的理論及其性質是線性代數的主要內容之一，而正定二次型是是實二次型中一類特殊的二次型，占有十分重要的地位.其一是正定二次型在許多實際應用和理論研究中，有著較大的實用價值，比如，它不僅在幾何，而且在數學的其它分支學科以及物理和工程技術也常常用到，其二是正定矩陣是依附正定二次型給出的，因而對正定矩陣的性質的考察，有助于更好地理解正定二次型，本文主要是在二次型的基礎上研究了正定二次型與正定矩陣的一些性質及相關證明.以便和讀者共勉。

1.實二次型的定義

由于正定二次型有著其廣泛的應用，如在研究極值問題方面、解決多項式的根和在物理方面的應用等等，但對于一般的二次型，判斷其正定性除了根據正定二次型的性質外，一般有三個途徑，其一是將二次型通過可逆線性變換化成標準型，然后考察其系數是否全為正數;其二是求二次型矩陣的特征值，看是否全為正數;其三是考察二次型矩陣的順序主子式是否全部大于零？但是，無論將二次型通過可逆線性變換化為標準形，還是求二次型矩陣A的特征值均非易事！所以通常都是采用第三種途徑，即直接利用二次型的矩陣A判別A的各階順序主子式是否全部大于零？來判斷二次型是否正定。

參考文獻

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作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。