高等數(shù)學(xué)中三重積分計(jì)算“坐標(biāo)系選擇”的問題

摘? 要：在高等數(shù)學(xué)三重積分的學(xué)習(xí)中會(huì)涉及到“坐標(biāo)系選擇”的問題，如何正確選擇坐標(biāo)系關(guān)系到能不能解答出題目以及計(jì)算量的繁簡(jiǎn)不同問題，需要深入分析研究。本文通過對(duì)高等數(shù)學(xué)中三重積分坐標(biāo)系的不同選擇，強(qiáng)調(diào)既要遵循一般的選擇規(guī)律也要靈活處理問題。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);三重積分;柱面坐標(biāo)系，球面坐標(biāo)系

高等數(shù)學(xué)三重積分的學(xué)習(xí)中會(huì)涉及到“坐標(biāo)系選擇”的問題，這是解決三重積分首先要明晰的問題，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)所在。首先要明確解題選擇哪種坐標(biāo)系，因?yàn)椴煌愋偷膱D形以及方程結(jié)構(gòu)采用不同的坐標(biāo)系解決，會(huì)導(dǎo)致能不能夠解出答案，以及計(jì)算的難易不同。通過下面這個(gè)例題兩種不同方法的選擇，讓學(xué)生明確靈活處理問題的重要性，能幫助學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)。

一、選擇合適的坐標(biāo)系是計(jì)算三重積分的關(guān)鍵

（1）若W立體在xoy面上的投影是x型或y型區(qū)域，說明積分限比較簡(jiǎn)單，可以用直角坐標(biāo)計(jì)算。

（2）若W是圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合，被積函數(shù)中的x、y以x2+y2或x/y的形式出現(xiàn)，用柱面坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單。

比如，球面與圓柱面，球面與旋轉(zhuǎn)拋物面，但不絕對(duì)。

（3）若W是球形、球形的一部分、球面與錐面圍成的部分，被積函數(shù)中的x、y、z以x2+y2+z2的形式出現(xiàn)，則適合用球面坐標(biāo)計(jì)算。

比如，球面與圓錐面，但不絕對(duì)。

二、關(guān)于不絕對(duì)依據(jù)一般原理的說明，就是說有時(shí)候按照常規(guī)思維應(yīng)該用柱面坐標(biāo)來解決，但是我們用球面坐標(biāo)也可以解決問題，下面舉例說明這一點(diǎn)。

方法一：按照常規(guī)思維應(yīng)該用柱面坐標(biāo)完成。因?yàn)榇祟}完全符合選擇柱面坐標(biāo)的依據(jù)。特別強(qiáng)調(diào)在柱面坐標(biāo)系下穿越法定上下限要“垂直”穿越。

方法二：但是此題才用采用球面坐標(biāo)也同樣可以完成。特別強(qiáng)調(diào)在球面坐標(biāo)系下穿越法定上下限要“從原點(diǎn)”穿越。

綜上：選擇坐標(biāo)系既要遵循一般規(guī)律也要靈活應(yīng)用;此外要注意在不同坐標(biāo)系下穿越法定上下限的不同方式，否則會(huì)造成結(jié)論的錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：吳文前?? 成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，碩士。研究方向：數(shù)學(xué)教育。