清源正本, 剖決如流

田靜

【摘要】通過梳理教學教材安排，分析學生已有學情，深度鉆研除法算理算法，總結除法豎式難教難學的五大難點，提出八點教育教學建議，希望降低學生學習難度，提升教育教學效果。

【關鍵詞】筆算除法;難點;對策

數的運算是小學數學學習內容的重要組成部分，是解決生活問題中常見的計算方法。除法又是四則運算中的難點之一，教師們都知道除法豎式教學難，卻不知道為什么難，所以一般是采用講授法講解除法的算理算法，學生的學習過程則是通過積累大量練習，逐漸摸清算理算法掌握規律。通過梳理教學教材安排，分析學生已有學情，鉆研除法算理算法，筆者希望能提升教師的教學效果，降低學生學習難度，減輕學生學習負擔。

一、問題難點

1.運算順序

數學的學習普遍都是螺旋上升的，前面所學知識為后序知識點做奠基、類推和遷移，但是有些知識卻為后續學習帶來負向遷移，比如，四則運算。小學階段數的運算學習過程是按照加法、減法、乘法和除法的順序來學習，三年級之前所學的加法、減法、乘法的運算順序，全部都是從低位算起，只有除法卻是從高位算起。人教版三年級下冊第二單元教材，安排先教學42÷2，后教學52÷2。動手操作小棒探究42÷2時，有的學生基于之前加、減、乘的學習經驗，會選擇先平均分2根，再平均分4捆;有的學生基于生活經驗平均分時先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的單根的，也就是個位;兩種平均分的方法在十位和個位都沒有余數時都可以，這就為學生辨析除法到底是從高位算起還是從低位算起，制造了困難，很多學生通過42÷2往往感知除法既可以從高位除起，又可以從低位除起，帶著這種負面知識認知，到之后的例二——52÷2時，才深刻體會除法是從高位除起，和加、減、乘運算順序是相反的。

2.書寫格式

加、減、乘的豎式書寫分別是以下格式：

但是除法豎式的書寫格式卻完全不同，格式如下：

關于除法豎式的第一次教學安排在二年級下冊，根據艾賓浩斯遺忘曲線，經過兩個學期時間的推移，在第二單元的復習課上，經筆者實際調查，約74%的學生已經將除法豎式格式記憶成和加、減、乘相似的豎式書寫格式。加、減、乘的豎式書寫格式在學生頭腦中已經形成思維定勢，類推出除法豎式格式也是類似，對學生掌握除法豎式書寫格式造成負向遷移。

3.逆向思維

三年級第二學期的學生都能熟練掌握乘法口訣，但是除法是乘法的逆運算，思考過程中需要逆向思考，而除法計算過程中往往不能整除，運用乘法口訣時試商時，學生選擇合適乘法口訣的思考過程是非常復雜的，必須經過實踐探究平均分的過程，理解每次平均分的結果的含義和由來，才能深刻領會，積又要比被除數小還得最接近被除數。

4.運算綜合性

加、減、乘的運算中，一般只有一種運算，乘法涉及進位時才會有兩種運算，但除法豎式的計算過程中，試商要運用乘法，被除數減去乘積運用減法，整個平均分的過程是除法，一共綜合運用三種運算，在算法方面就相對復雜，學生學習過程中就覺得困難。

5.余數要比除數小

往往老師們覺得“余數要比除數小”是在有余數除法時才進行教學的，但實際上學生的真正學情是，每一次除法的試商都要運用這一結論。而“余數比除數小”又囊括了兩種情況，一種是余數比除數大，一種是余數等于除數，這就成為學生豎式試商過程中最大的難點。

二、建議

1.復習

講授三年級下冊第二單元口算除法前，先安排一節復習課，復習內容主要有三方面：

（1）理解除法含義

復習除法的含義，使學生感知除法的兩個特征：一是平均分，目的不是根據乘法口訣快速說出平均分的結果，而是使學生在動手操作過程中，先一個一個地分，再兩個兩個的分……感受內化平均分的過程，理解余數如果等于或大于除數，還可以繼續進行平均分。二是包含除，乘法的本質可以理解為相同加數相加，除法是乘法逆運算，相對來說，除法就可以理解為連續減去相同的數，如果沒有剩余就叫整除，有剩余就是有余數的除法。

（2）復習筆算除法格式

加法、減法、乘法的豎式書寫格式都有點類似，筆算除法的書寫格式卻與加它們完全不同，經過兩個學期，很多學生已經完全遺忘除法豎式書寫格式，為了能順利進行第二單元教學，尊重學生已有學情，有必要進行筆算除法格式的復習。

（3）構建數學模型

2011版《新課標》中強調“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”學生學習數學，應該經歷的過程應先是看山是山，看水是水;然后看山不是山，看水不是水;最后總結規律構建模型升華為看山仍然山，看水仍然是水。三年級下學期第二單元以前，運用除法一共有三種模型，分別是平均分、每幾個一份能分成幾份以及倍數關系，只有構建了三種模型，學生在解決問題以及應用時才能正確運用所學知識。

2.生活情景引入

數學的學習相對抽象，即使通過動手操作擺小棒，學生也很難理解除法為什么從高位算起，為此，課前談話引入，筆者設計如下：

【片段1】

師：同學們，上學期期末，我們班級購買冬季厚版班服的事情還記得嗎？

生：記得。

師：假如同一天田老師還需給你們每人發放一套夏版班服的話，你猜田老師會先發夏裝還是冬裝呢？為什么呢？

生1：先發夏裝，因為夏裝薄比較好發。

生2：先發冬裝，因為我們班冬裝很厚重，很占地方，當時把講臺都放滿了，田老師肯定先發冬裝。

師：你們的想法呢？同意生1的請舉手，同意生2的請舉手。

生舉手投票，96%的同學支持第二種。

師：是啊，生活中，我們分發物品會先分發多的，后分發少的，那平均分的除法呢？這節課讓我們一起來探究下吧！

3.教學順序

教材的設計是，先教學42÷2，后教學52÷2，動手操作小棒探究42÷2時，有的學生基于之前加、減、乘的學習經驗，會選擇先平均分2根，再平均分4捆;有的學生基于生活經驗平均分時先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的、單根的也就是個位;兩種平均分的方法在十位和個位都沒有余數時都可以，這就為學生辨析除法到底是從高位算起還是從低位算起，制造了困難，很多學生通過42÷2往往感知除法既可以從高位除起，又可以從低位除起，帶著這種負面知識認知，再學習52÷2時，很多學生就不知道該先平均分十位還是個位，所以筆者建議先教學52÷2，再教學42÷2，讓學生在探究52÷2時，深刻感知先平均分十位再平均分個位，進而小結規律，先從高位算起，一位一位算。

4.實踐探究

三年級第二學期之前，運用除法的三種情況分別是平均分、每幾個一份能分成幾份以及倍數關系，但筆算豎式時，我們只將除法豎式看作第一種含義，就是平均分，例如52÷2，為了讓學生深刻感知平均分的含義，一定要讓學生經歷實踐操作擺小棒的過程，教學過程中向學生提出第一個疑問，先平均分整捆的，還是先平均分單根的。經過動手探究感知兩個結論，一是平均分時先分整捆的，也就是豎式計算時從高位算起，二是余數要比除數小才能算下一位，如果余數等于或者大于除數就還可以再次平均分，商就要適當調整。

5.理解算理

數學真正的魅力在于培養人的數學思維和激發人的數學思考，如何培養學生的數學思維，促使學生主動思考呢？就是在日常教學中，不僅使學生會數學，還要懂原理，對于除法豎式來說，就是不僅會算法，還要會算理，能真正理解除法的含義，掌握平均分的過程，理解筆算除法的算理，才能活學活用、舉一反三，擴寬數學思維的廣度，增進數學思考的深度。

6.培養數感

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的數感培養主要包括“理解數的意義;能用多種方法表示數;能在具體的情境中把握數的相對大小;能用數表達和交流信息;能為解決問題選擇適當的算法;能估計運算的結果等等。”筆算除法的數感培養目標是，在筆算除法過程中，把握商和除數的積與被除數之間的相對大小，那如何培養學生的這方面數感呢？首先落實學生乘法口訣的正確率和速度，其次提高除法口算（一位數除兩位數、整百整十數）的正確率和速度，進而培養學生試商調商過程中的數感。

7.總結算法

通過以上建議操作，學生會深刻感知除法的含義、理解除法的算理、掌握并運用“余數小于除數”的原理，但是還要抽象總結概括出除法豎式算法，幫助學生梳理條理、理清思路，構建筆算除法的模型，使學生能有效利用所學算理算法正確進行筆算除法。

8.拓展一位數除多位數

通過課堂生成反饋，學生對于一位數除兩位數、多位數時，一位一位除理解還是不夠深刻。數學教學的知識點不應該是孤島似的閃爍各自光芒，而應該是網狀互動的，結合維果茨基的“最近發展區理論”，可以適當拓展知識，比如，一位數除以六位數（每一位都有余數）這種情況，學生在具體情境中感知數學的知識是通用的，也是為以后學習做好鋪墊。

筆算除法是人教版三年級下冊最難教學的內容之一，很多老師感慨學生怎么都教不會，反復練習又事倍功半，就是因為我們沒有尊重學生的基本學情。陶行知先生提出教的法子根據學的法子、學的法子根據做的法子。我們的教學應當永遠以學生“如何做”為導向，尊重學生已有知識經驗，找到知識點之間的聯系與區別，這樣才能切實有效提高教學效果。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.1.