數形結合思想在導數解題方面的巧妙運用

葛秀平

【摘要】本文探究了2019年全國高考導數壓軸題分別用數形結合思想解決問題的方法，結合圖像，解題方法更簡潔、更具體、更便于學生理解和接受，而且讓學生能更加直觀感受數學壓軸題的難度和數學中數形結合的美妙，體會如何多角度地思考和解決問題。同時也對數學老師課堂教學提出一點建議：在平時的課堂講題及訓練中，多滲透數形結合思想。

【關鍵詞】數形結合;2019;高考;數學;導數;零點

美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索出問題的解法。” 在中學數學課程中，數形結合思想是數學教學內容的主線之一，利用數形結合，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題的目的。

一、用數形結合思想對兩道導數壓軸題新解法的探究

例1：（2019年全國Ⅰ卷·文）已知函數f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）是f（x）的導數。

（1）證明：在區間存在唯一零點;

（2）若時，ax，求a的取值范圍。

分析：這是一個關于三角函數與導數問題，探究函數的單調性與零點問題。

【探究1】在第一問的講解過程中，若加入圖像，會更直觀地看到零點的存在。

由前面解析已知在單調遞增，單調遞減，，，畫出在的圖像如下圖：

【探究2】本題的第二問，用分離變量結合圖像的方法做會更加簡潔明了。

解：（2）已知當x=0時，f（x）=f（0）=0，ax=0，因此滿足ax;

當時，因為x>0，可將ax轉化為，這是一個恒成立問題。只需證，因此問題轉化為求的最小值。

當時，，在單調遞增;

當時，，在單調遞減;

在，，又，畫出圖像：

在存在，使得t（xo）=0;

且在，，即;在，，即;

h（x）在上單調遞增，在上單調遞減;

當時，;

又，畫出在上圖像，如下圖：

在的最小值為.

.

【探究3】在第二問中，也可以把里的x移到右邊，得到直線y=（a+1）x，由此只需要的圖像在直線y=（a+1）x上方。

解：（2）ax，即ax，等價轉化為，令，.

則，，在上，，單調遞增;

在上，，單調遞減;

又，且圖像在連續，所以存在，使得，在上，，在上，，圖像如下：

在上單調遞增，在上單調遞減;又，

在同一直角坐標系中，做出和直線（恒過原點），圖像如下圖所示：

由圖像可知，要使在上恒成立，只需直線y=ax的斜率，即.

【探究4】類比方法三可以得到更加簡潔的方法。 基于第一問得到的結論，本題的第二問，可再換一種思路，將y=ax看成一個新的函數，ax，即的圖像在y=ax的上方。

解：（2）由（1）可知在上的圖像如下圖，在上存在唯一零點，設為.

f（x）在單調遞增，在單調遞減，且，做出在上圖像，再作出直線y=ax圖像，如下圖：

由圖像可知，要使ax在上恒成立，只需直線y=ax的斜率.

小結：通過對上述四種方法的比較分析，很容易看出方法四可以借助于第一問的結論，再通過完美的數形結合，過程最簡潔，巧妙的解決了高考壓軸題。在平時的上課過程中，有意識的融入數形結合可以很好的鍛煉學生的思維。

例2：（2019年全國Ⅰ卷·理）已知函數f（x）=sinx-in（1+x），f'（x）為f（x）的導數.證明：

（1）f'（x）在區間（-1，）存在

唯一極大值點;

（2）f（x）有且僅有2個零點.

分析：2019年理科這道導數壓軸題和文科一樣，考查函數單調性與零點問題。

【探究5】同上題一樣，若在第一問的講解過程中，加入函數圖像，能使學生更直觀的看出導數的正負，從而判斷函數的單調性，畫出函數圖像，看到零點的存在。

（1）解：，，

因為，所以，

，在單調遞減，

又，

在的大致圖像如下圖所示：

所以，當時，;當時，.

f（x）在單調遞增，在單調遞減，

f（x）在存在唯一極大值點.

【探究6】：第二問要證有兩個零點，即的解的個數。

即，畫出及y=的圖像，

因為時，，可以猜想這兩個零點應該一個為0，一個在內。

以上結論屬于合情推理，在猜想的基礎上再去證明有兩個零點就容易許多。

定義域，

當時，由（1）知在單調遞增，在單調遞減，其中

又，，畫出在上大致圖像如下：

由圖像可知存在，

當時，，單調遞減;

當時，，單調遞增;

當時，，單調遞減。

又，

圖像如下圖所示：

所以在上存在一個零點0.

當時，，所以，

在（）單調遞減， ，

在上存在一個零點。

當時，，所以恒成立，即在上不存在零點，

綜上所述，存在兩個零點。

小結：本題的第二問設置了一個探索問題情境，先通過圖像的方法，經過合情推理，猜想零點的范圍，然后再通過嚴密的邏輯推理證明零點的存在，綜合性很強。

二、結論

通過對2019年高考文理科數學的兩道導數壓軸題在解題方法和數學思想方法上的分析可以看出，這2道導數題目都考查了利用導數研究函數的單調性，從而解決零點問題。并且數形結合思想，函數與方程思想在題目中都有融入。導數是高中數學的難點，數學老師在課上應盡量多的結合圖象講解導數問題，降低難度，便于學生理解。

參考文獻：

[1]王樹禾.數學思想史[M].國防工業出版社，2003.

[2]王憲昌.數學思維方法[M].人民教育出版社，2002.