正余弦信號的譜分析

唐女智 韓琨 師子珍

摘 要：數(shù)字信號處理方法的一個重要用途是在離散時間域中確定一個連續(xù)時間信號的頻譜，通常稱為頻譜分析，更具體的說它也包括能量譜或功率譜，所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換，而 DFT的實質(zhì)是有限長序列傅里葉變換的有限點離散采樣，從而實現(xiàn)了頻域離散化，使數(shù)字信號處理可以在頻域采樣數(shù)值運算的方法進行，這樣就大大提高了數(shù)字信號處理的靈活性，從而使信號的實時處理和設(shè)備的簡化得以實現(xiàn)。本文分析了譜分析的原理，綜述了DFT譜分析的誤差和改善方案以及選取參數(shù)的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)字信號處理;頻譜分析;DFT

1 DFT對連續(xù)信號譜分析原理

工程實際中，經(jīng)常遇到連續(xù)信號xa（t），其頻譜函數(shù)Xa（j）也是連續(xù)函數(shù)。為了利用DFT對xa（t）進行譜分析，先對xa（t）進行時域采樣，得到x（n）=xa（nT），再對x（n）進行DFT，得到的X（k）則是x（n）的傅里葉變換在頻域區(qū)間[0，2π]上的N點等間隔采樣。x（n）和X（k）均為有限長序列。然而，由傅里葉變換理論知道，若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬;若信號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時間必然為無限長。所以嚴格的講，持續(xù)時間有限的帶限信號是不存在的。因此，按照采樣定理采樣時，上述兩種情況下的采樣序列x（n）=xa（nT）均應為無限長，不滿足DFT的變換條件。實際上對于頻譜很寬的信號，為了防止時域采樣后產(chǎn)生頻譜混疊失真，可用預濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號的帶寬小于折疊頻率。對于持續(xù)時間很長的信號，采樣點數(shù)太多，以致無法存儲和計算，只好截取有限點進行DFT。由上述可見，用DFT對連續(xù)信號進行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。實際上從工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的。因此，在下面分析中，假設(shè)xa（t）是經(jīng)過預濾波和截取處理的有限長帶限信號。

2 DFT進行譜分析的誤差和改善

DFT可以用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進行譜分析，但在實際分析過程中，要對連續(xù)信號采樣和截斷，有時非時限數(shù)據(jù)序列也要截斷，因此可能引起分析的誤差。

2.1 DFT譜分析的誤差

1.混疊現(xiàn)象

對連續(xù)信號進行譜分析時，首先要對其進行采樣，變成時域離散信號后才能用DFT（fft）進行譜分析。采樣速率Fs必須滿足采樣定理，否則會在w=π（對應模擬頻率f=Fs/2）附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這是用DFT分析結(jié)構(gòu)必然在f=Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須滿足Fs≥2fc（fc為連續(xù)信號的最高頻率）。對Fs確定的情況，一般在采樣前進行預濾波，濾除高于折疊頻率Fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。

2.柵欄效應

N點DFT是在頻率區(qū)間[0，2π]上對時域離散信號的頻譜進行N點等間隔采樣，而采樣點之間的頻譜是看不到的。這就好像從N個柵欄縫隙中觀看頻譜的情況，僅得到N個縫隙中看到的頻譜函數(shù)值，這就是柵欄效應。

3.截斷效應

（1）泄露：原來序列x（n）的頻譜是離散譜線，經(jīng)截斷后，使原來的離散線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄露。泄露可以是頻譜變模糊，使譜分辨率降低。頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關(guān)，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。所以，在窗函數(shù)長度N相同時，用矩形窗截取，產(chǎn)生的泄露最小。

（2）譜間干擾：在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾（簡稱譜間干擾），特別是強信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強信號譜的旁瓣誤認為是另一頻率的信號譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大的偏差。由于矩形窗的旁瓣最大，所以，用矩形窗截取時，產(chǎn)生的譜間干擾最大。

（3）截斷效應就是由以上兩種影響對信號截斷引起的。增加N可使Wg（w）的主瓣變窄，減小泄露，提高頻率分辨率，但旁瓣的相對幅度并不減小。為了減小譜間干擾，應用其它形狀的函數(shù)窗代替矩形窗。但在N一定時，旁瓣幅度越小的窗函數(shù)，其主瓣就越寬。所以，在DFT變換期間N一定時，只能以降低譜分析分辨率為代價，換取譜間干擾的減小。

2.2 DFT譜分析誤差的改善

1.柵欄效應的改善

在連續(xù)譜分析中，若譜分析的參數(shù)選擇滿足前述的幾個原則，則柵欄效應也可忽略不計，信號經(jīng)過DFT后所得的離散譜線的包絡線也可近似的視為是原信號的頻譜。

2.頻率混疊的改善

連續(xù)信號的譜分析首先要經(jīng)過時域離散化即采樣，然后才能通過DFT實現(xiàn)頻域離散化。從理論上來說，要滿足采樣定理fs≥2fc，否則由于傅立葉的周期性，容易在ω=π附近發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。但是在實際的工程應用中，一般采樣頻率fs要取到連續(xù)信號最高頻率（用fh表示）的三至五倍

3.截斷效應的改善

當截取長度一定的情況下，如果要改善泄漏，就要提高譜線密度而增大分辨率，這勢必會增大譜間干擾;如果要改善譜間干擾，就要降低譜線密度而減小分辨率，這又會增大泄漏。因此在對系統(tǒng)的分析和設(shè)計時，要抓住矛盾的主要方面，分析具體是哪一類截斷效應占主導，然后再去進行處理。

3 譜分析參數(shù)選取方法

譜分析中有幾個重要的參數(shù)，如頻率分辨率F、采樣點數(shù)N、觀察時間Tp、采樣頻率fs等等，參數(shù)的選擇有如下幾個原則：

1.根據(jù)時域采樣定理;

2.頻率分辨率，因此采樣點數(shù);

3.最小觀察時間（又稱記錄時間）至少應包含一次完整的采樣過程，

作者簡介：

唐女智（1999-1），女，侗，湖南省懷化市，本科，學生，研究方向：信息與通信。

韓琨，2000.8，男，漢，山東省樂陵市，本科在讀，學生， 研究方向：通信工程.

師子珍，2001.7，女，漢，山西省臨汾市，本科，學生，研究方向：通信工程。