一些計算現象

鄧柯 馮利民

當我們在進行豎式計算的時候，加減法的運算順序為a的個位數到b的個位數，再由a的十位數到b的十位數，如有更多位數則依次添加。如12加16得28，16減12得4。乘法的運算順序為a的個位數和十位數分別乘以b的個位數，又到a的個位數和十位數分別乘以b的十位數，12乘以16得192。這就是加減法和乘法的運算順序。

現在當我們用乘法的運算順序來算加法的時候，會出現一些看似無意義的結果。比如12和16，用2和1分別加6后再用2和1分別加1，結果會是308。舉另一例，12和16每一位各加一后是23和27，結果是550。單獨拿這些結果來看并沒有意義，但當你用這個結果減去a和b的和時，你會發現結果總是它們的和的十倍。如308-（12+16）=308-28=280，550-50=500。在a和b為正的二位數的情況下，就一定會有這個現象。

我們把在豎式計算中以乘法的運算順序進行加法的運算符號暫寫為“Ж”（因為此符號看著像豎線與斜線的組合，而豎式計算中也只有豎和斜的方向），就有公式（aЖb）-（a+b）=10（a+b），其中a、b>0且為二位數。

以下為簡單的證明。

設a的十位數和個位數分別為A、B，b的十位數和個位數分別為C、D，

則a=10A+B，b=10C+D，10>A、B>0，10>C、D≥0，且A、B、C、D∈Z。

aЖb=10A+BЖ10C+D

=（B+D）+10（A+D）+10（B+C）+100（A+C）

=B+D+10A+10D+10B+10C+100A+100C

=110A+11B+110C+11D

a+b=（10A+B）+（10C+D）=10A+B+10C+D

10（a+b）=10[（10A+B）+（10C+D）]

=10（10A+B）+10（10C+D）

=100A+10B+100C+10D

（aЖb）-（a+b）=110A+11B+110C+11D-10A-B-10C-D

=100A+10B+100C+10D

=10[（10A+B）+（10C+D）]

=10（a+b）

然而正二位數恒等式僅對正二位數有效，那么正n位數有沒有類似的現象呢？

經過對正二位數恒等式的推導，我們可以得出正三位數的恒等式為（aЖb）-11（a+b）=100（a+b），正四位數恒等式為（aЖb）-111（a+b）=1000（a+b），正五位數恒等式為（aЖb）-1111（a+b）=10000（a+b）……這里有著明顯的規律，所以我們得出正n位數恒等式：（aЖb）-n-1個1（a+b）=10^n-1（a+b）。

而“n-1個1”顯然不是個數學語言，所以通過-[（1-10^n-1）/9]來表示。則有（aЖb）+[（1-10^n-1）/9]（a+b）=10^n-1（a+b），經化簡得aЖb={（a+b）[（10^n）-1]}/9。

且化簡后的正n位數恒等式不僅能用于所有n>2且∈Z的情況，還能用于一位數和二位數。

所以，每兩個位數相等的正整數都遵循aЖb={（a+b）[（10^n）-1]}/9，而“Ж”就是那無厘頭的運算。

作者簡介：

鄧柯（2001-），男，廣西玉林博白縣，廣西玉林博白縣博白鎮海龍苑小區，學生。

馮利民（2001-），男，廣西省博白縣，學生。