基于積分法優化皮卡定理存在唯一性證明

黃鑫茹

摘 要：皮卡定理的證明有四步，第一步是將初值問題等價于積分問題，第二步是用逐次替代法構造皮卡序列，第三步是證明皮卡序列一致收斂，第四步是證明唯一性。第四步普遍采用的是設兩個解做兩個解的差再用歸納法，本文用兩個解的差，再湊函數利用最后積分得到我們要的結果。

關鍵詞：皮卡序列; 逐次迭代法 ;條件;判別法 ;不等式積分

證明初值問題其中在矩形區域：，上連續，并且對滿足條件：即存在，使對所有，常成立，則初值問題在區間上的解存在且唯一，這里，

由五個命題來證明存在唯一性，命題一：初值問題等價于積分方程：（1）。證明：若為初值問題的連續解，則對第一式從到取定積分得 即 故為（1）式的連續解。反之若為（1）式的連續解，則有 由于在上連續，從而連續，故對上式兩邊求導，得 且 即為初值問題的連續解。構造逐步逼近函數列

（2）

命題二：對于所有，連續且滿足。用數學歸納法證明：當時，，顯然在上連續，且設命題二當時成立，即上連續且。當時 。由在上連續性知，在上連續，從而在上連續且即命題二當時成立，從而命題二對所有都成立。

命題三：函數序列在上一致收斂，記，。

證明：考慮函數項級數，

（3）。它的前n項部分和為，于是一致收斂性與級數（3）一致收斂性等價。通過找規律對級數（3）的通項進行估計由條件可知

設對于正整數n，有不等式，則當時，由條件有

于是由數學歸納法得知，對所有正整數n，有，其中。從而當時，，

由于正項級數收斂，由判別法知，級數（2）在上一致收斂。因而函數序列在上一致收斂。

現設，，則由在的連續性和一致收斂性得，在上連續，且

命題四：是積分方程（1）定義于上連續解。證明：由條件有以及在的一致收斂得函數列在上一致收斂于函數，因此對（2）式兩邊取極限得， 即。故是積分方程（1）定義于上連續解。

命題五：設是積分方程（1）定義于上的一個連續解，則，。證明：設，則是定義于上非負連續函數，由? ?及條件得：

令 則是定義于，且，，，于是，，對最后一個不等式從積分得，故，即

由于用積分法證明唯一性涉及連續性因此有了第四步的證明連續解，因為積分法雖然比兩解的歸納法復雜但是它更通俗易懂。