解析函數展為泰勒級數與洛朗級數的區別

【摘要】泰勒級數和洛朗級數是研究解析函數的重要工具，它們都是借助于簡單的冪函數去研究一個復雜的函數，因此把一個解析函數展為泰勒級數和洛朗級數就顯得特別重要，但一些初學者容易把兩種方法搞混淆，筆者就兩種展開的方法的區別作了一個詳細的總結。

【關鍵詞】泰勒級數? 洛朗級數? 區別

前言：泰勒級數和洛朗級數是研究解析函數的重要工具，它們都是借助于簡單的冪函數去研究一個復雜的函數，因此把一個解析函數展為泰勒級數和洛朗級數就顯得特別重要，但一些初學者容易把兩種方法搞混淆，下面就兩種展開的方法的區別作了一個詳細的總結。

一、兩種展開的方法的區別

解析函數展開為泰勒級數是根據泰勒展開定理來展開的：設f（z）在區域D內解析，z0為D內的一點，d為z0 到D的邊界上各點的最短距離，那么當|z-z0|

f（z）=cn（z-z0）n （1）成立，其中cn=，n=0，1，2，3，…

（1）式稱為f（z）在z0的泰勒展開式，（1）式右端的級數稱為f（z）在z0的泰勒級數，泰勒展開定理告訴我們：在一個圓域內解析的函數可展為泰勒級數，泰勒級數是在圓域內展開的。但在實際展開中這個圓域往往要我們自己去找，其找的方法是這樣的：設f（z）在z0處解析，且有若干奇點，比如z1，z2，z3等，則f（z）在z0處的泰勒展開式成立的圓域半徑R=z0到最近奇點的距離，即f（z）在圓域|z-z0|

解析函數展開為洛朗級數是根據洛朗展開定理來展開的：設f（z）在圓環域R1<|z-z0|

f（z）=cn（z-z0）n （2）成立，其中cn=dζ，n=0，±1，±2，±3，…，C為在圓環域R1<|z-z0|

（2）式稱為f（z）在圓環域R1<|z-z0|

例1：把函數chz展開成z的冪級數，并指出它的收斂半徑。

解：∵chz=（ez+e-z）/2，而由（4）式ez=，|z|<+∞，再將（4）式兩端的z換成-z得e-z=（-1）n，|z|<+∞，故chz=1+++…，|z|<+∞，收斂半徑R=+∞.

例2：求函數1/z2在z0=-1處的泰勒展開式，并指出它們的收斂半徑。

解：1/z2=-（1/z）'，而1/z=- ，將（3）式兩端的z換成z+1得1/z=-=-（z+1）n，1/z2=-（1/z）'= n（z+

1）n-1=（n+1）（z+1）n，|z+1|<1，收斂半徑R=1.

例3：求對數函數的主值ln（1+z）在z=0處的泰勒展開式。

解：因為ln（1+z）在從-1向左沿負實軸剪開的平面內是解析的，而-1是它的一個奇點，所以它在|z|<1內可以展開成z的冪級數，因為[ln（1+z）]'=1/（1+z），將（3）式兩端的z換成-z得=（-1）nzn，|z|<1，（6），在（6）式的收斂圓|z|<1內，任取一條從0到z的積分路線C，把（6）式兩端沿C逐項積分，得dz=dz-zdz+…+（-1）nzndz+…，即ln（1+z）=z-z2/2+z3/3-z4

/4+…+（-1）nzn+1/（n+1）+…，|z|<1.

二、結束語

從以上的分析和4個例子大家可以看出函數展開為洛朗級數與泰勒級數的區別。

參考文獻：

[1]西安交通大學高等數學教研室.復變函數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]馬柏林.復變函數與積分變換[M].北京：北京大學出版社， 2019.

[3]鐘玉泉.復變函數學習指導（第一版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：李明泉（1964-），男，重慶人，大學本科學歷，講師職稱，現任教于三峽大學理學院數學系，從事《運籌學》的研究。