橢圓中“設點、設直線”解題思路探究

郝海軍

[摘? 要] 解析幾何題作答時要智慧規劃答題路徑，這種智慧體現在方法的選擇、答題路徑的合理規劃上. 作答解析幾何試題時，是設點還是設直線，需要根據具體試題而定.

[關鍵詞] 橢圓;設點;設直線

橢圓是高中數學解析幾何的重要知識點，在該知識點的教學中，相關問題的解題思路是困擾學生的難題之一. 筆者在教學中結合相關理論的學習，摸索出了“設點、設直線”的解題思路，現進行一個綜合闡述.

課程標準相關內容解讀

《普通高中數學課程標準》（2017年版）（以下簡稱《標準》）中關于平面解析幾何的闡述：本單元的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中，認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程;運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系;運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想.

《標準》中強調了方程、代數方法的重要性. 在具體解決橢圓問題時，是選擇設點還是設直線？本文通過例題教學，說明如何規劃答題路徑.

備考策略概述

從備考的角度看圓錐曲線尤其是橢圓知識的考查，教師要認識到以下三點：

1. 圓錐曲線的定義，是圓錐曲線與方程的核心內容，通過不同曲線的定義，學會了解生活中的一些圖形規律，避免畏懼高考中的創新類試題.在使用各曲線定義時，要注意定義中的隱含條件.

2. 圓錐曲線的標準方程和簡單幾何性質是高考的熱點，特別是橢圓、雙曲線的離心率，考查的頻率較高.解題時，只需注意橢圓、雙曲線中a，b，c的不同含義和關系，得出關系式就可解決問題.

3. 直線與橢圓的位置關系也是考查的重點之一，由直線、圓、橢圓、拋物線可以組成一些熱點問題，如定點、定值、范圍、最值等.

這一部分在高考中重點考查內容包含橢圓的定義、標準方程及離心率、準線等常見知識點.題型分為客觀題和解答題，難度則以中檔題為主，在解答題中也會出現圓錐曲線和直線與圓綜合的問題.

解析幾何答題要領

一般認為，答題需要智慧，這種智慧體現在方法的選擇、答題路徑的合理規劃上. 作答解析幾何試題時，是設點還是設直線？這需要根據具體試題而定. 在設點的前提下，答題路徑是怎樣的？其中運算最為復雜的節點在哪里？這種運算是不是你熟悉的？同樣設直線又怎樣？在對不同方案進行簡單比較、規劃以后再動手操作，必然會事半功倍. 解答解析幾何試題時，特殊情形要單獨說明. 運算變形過程要完整細致，不可出現假證現象.

例1：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點■，■，焦點F1（-■，0），F2（■，0），圓O的直徑為F1F2.

（1）求橢圓C及圓O的方程.

（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標;

？搖②直線l與橢圓C交于A，B兩點，若△OAB的面積為■，求直線l的方程.

分析：本小題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等知識，考查分析問題能力和運算求解能力.

解：（1）因為橢圓C的焦點為F1（-？搖■，0），F2（■，0），

可設橢圓C的方程為■+■=1（a>b>0）. 又點■，■在橢圓C上，

所以■+■=1，a2-b2=3， 解得a2=4，b2=1，

因此，橢圓C的方程為■+y2=1.

因為圓O的直徑為F1F2，所以其方程為x2+y2=3.

（2）（方法一）思維流程：設點P（x0，y0）■用P點坐標表示直線l的方程■直線l的方程與橢圓C的方程聯立，得點P的坐標.

①設直線l與圓O相切于P（x0，y0）（x0>0，y0>0），則x■+y■=3，

所以直線l的方程為y=-■（x-x0）+y0，即y=-■x+■.

由■+y2=1，y=-■x+■， 消去y，得

（4x■+y■）x2-24x0x+36-4y2=0.（*）

因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以Δ=（-24x0）2-4（4x■+y■）（36-4y2）=48y■（x■-2）=0.

因為x0，y0>0，所以x0=■，y0=1.

因此，點P的坐標為（■，1）.

②分析：注意到直線l與圓O相切于P（x0，y0），所以OP⊥AB.

因為三角形OAB的面積為■，所以■AB·OP=■，從而AB=■.

設A（x1，y1），B（x2，y2），

由（*）得x1，2= ■，

所以AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=1+■·■.

因為x■+y■=3，所以AB2=■=■，即2x■-45x■+100=0，

解得x■=■（x■=20舍去），則y■= ■，因此P的坐標為■，■.

綜上，直線l的方程為y=-■x+3■.

（2）（法二：設直線）思維流程：設直線l的方程y=kx+b■直線l與圓O相切，得b與k之間的關系■直線l的方程與橢圓C的方程聯立，求得k的值.

直線l斜率存在，設直線l：y=kx+b.

因為l與圓O相切，所以b2=3（1+k2）.

①因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點

所以由■+y2=1，y=kx+b， 消去y，得

（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0.（*）

因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，

所以由Δ= 0可解得b2=4k2+1.

因為點P在第一象限內，所以k<0，所以k=-■. 所以kOP=■，直線OP：y=■x.

因此，點P的坐標為（■，1）.

②分析：注意到直線l與圓O相切于P（x0，y0），所以OP⊥AB.

因為三角形OAB的面積為■，所以■AB·OP=■，從而AB=■.

設A（x1，y1），B（x2，y2），

所以AB=■x1-x2=■·■，且由①知

Δ>0，x1+x2=■，x1·x2=■，結合b2=3（1+k2），代入得

17k4-65k2-100=0. 因為k<0，b>0，解得k=-■，b=3■，直線l的方程為y=-■x+3■.

練習：

已知橢圓■+■=1，動直線l與橢圓交于B，C兩點（B在第一象限）.

（1）若點B的坐標為1，■，求△OBC面積的最大值;

（2）設B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求當△OBC面積最大時，直線？搖l的方程.

通過上面的闡述可以發現，在橢圓知識的解題過程中，教學智慧體現在引導學生掌握解題技巧上，這個技巧不是程序化的基礎，而是學生理解了橢圓知識體系以及問題邏輯之后形成的認識. 在教學中多引導學生積累這樣的認識，可以讓學習變得更加有效.