解題教學中落實數學運算素養的實踐與思考

鄭榮坤

[摘? 要] 文章針對當前高中學生普遍存在“一看就懂，一聽就會，一算就錯”的問題，依據章建躍主任的觀點，結合教學實踐，探討如何在解題教學中落實數學運算素養.

[關鍵詞] 運算對象;運算法則;運算思路;運算方法

筆者從事高中數學教學十數載，有如下教學經驗：學生搞明白了如何應用分類討論的數學思想方法解選做題中的不等式，但是去括號沒變號、并集算錯的現象屢見不鮮;學生弄清楚了解析幾何解答題的解題過程，但大多數學生都選擇中途放棄;學生掌握了錯位相減求數列之和的方法，算出正確答案的卻不在多數. 人民教育出版社中學數學室章建躍主任提出：“可以通過落實數學運算素養來改變高中生運算能力差的現狀，要注重數學運算的基本技能，要從‘數系擴充的背景、內容、方法及其數學思想處提升學生的數學運算素養.”

數學運算素養是指在明晣運算對象的基礎上，根據運算法則來解決數學問題的素養. 具體包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等. 雖然落實數學運算素養關鍵在于以下四個方面：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法，但是由于大多數教師缺乏相關的經驗與理論，故在實際教學中很多教師常常困惑：如何在解題教學中落實數學運算素養呢？因而研究和開發出一些教學途徑與方法是十分必要的. 下面就以筆者在解題教學中的一些教學片段為例，談談落實數學運算素養的策略和方法.

■關注為什么這么做，透徹理解運算對象

理解運算對象就是要明確對誰進行運算，即了解運算對象的背景，理解運算對象的本質、幾何意義、相關數學思想以及相關聯的概念等. 理解運算對象是正確進行運算的基本要求，然而高中數學的運算對象不僅類型多，而且難理解，導致部分學生對其產生了畏懼心理.因此，教師在教學中應當側重加強學生對運算對象的理解.

在當前的解題教學中，教師關注怎么做的多，一味強調解題訓練的重要性，其結果是學生常常搞錯運算對象. 其實，讓學生透徹理解運算對象并應用自如，僅靠學生機械化的解題訓練是遠遠不夠的，讓學生搞清楚為什么這么做才有意義.

案例1：筆者在上《導數的計算》解題課時，讓學生解答以下試題：

已知曲線y=x3-2x+4，則在點（1，3）處的切線的傾斜角為（? ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

學生很快就得出以下的解答過程：由于y′=3x2-2，y′x=1=1，故傾斜角為45°. 但當筆者提出了以下問題，卻沒有學生能回答.

問題1：函數y=x3-2x+4，為什么y′=3x2-2？

問題2：為什么曲線y=x3-2x+4在點（1，3）處的切線斜率等于y′x=1=1呢？

為了幫助學生解決問題1，筆者先向學生介紹了平均變化率：■=■，然后讓學生知道，在x=x0處的瞬時變化率為：■■=■■，最后讓學生自行求y′x=1的值.為了幫助學生解決問題2，筆者讓學生思考以下問題.

問題3：■=■的幾何意義是什么？

問題4：如果點A（x0，f（x0）），B（x0+Δx，f（x0+Δx））是曲線y=x3-2x+4上的兩點（如圖1所示），那么當Δx趨近于0時，直線AB與曲線是什么位置關系？

■

圖1

在學生解決了上述問題之后，筆者繼續讓學生自主完成以下問題.

問題5：已知曲線y=x3-2x+4，則在點（1，3）處的切線方程為__________;

問題6：已知曲線y=x3-2x+4，則過點（1，3）的切線方程為__________.

在這個教學案例中，原本只是一節比較簡單的解題課，讓學生計算函數在某一點處的切線方程，但由于關注了為什么這么做，設計了問題串，擴大了探索的空間，使得一節平淡的課在不斷追問“為什么”的過程中激起了層層浪花，自然讓學生對運算對象的理解更加深入.

■關注失敗經歷，熟悉掌握運算法則

掌握運算法則就是在理解運算對象的前提下，明晰本運算所涉及的運算法則. 不同的運算有著不同的運算法則，只有掌握運算法則，才能保障運算過程和結果的準確性. 數學運算法則不具備規則性，無法生搬硬套，而應當是在學生充分理解和掌握的基礎上去靈活運用.？搖

在當前的解題教學中，教師關注成功經驗的多，總是害怕學生未能掌握運算法則而算錯. 其實，為了讓學生深入理解和熟悉掌握運算法則，教師應當關注失敗經歷，正如同當代著名的美國心理學家羅杰斯所說：“我們期望學生犯錯誤，因為從錯誤中吸取教訓，便可爭取明天的成功.”教師可以在解題教學中設計一些學生容易解答錯誤的題目，先創設條件與機會讓學生在運算中犯錯誤，然后讓學生自主或合作診斷錯誤，吸取教訓，從而獲得對運算法則的深入理解和熟悉掌握.

案例2：筆者在上《數列求和》解題課時，讓學生自主解答以下試題：

已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn的值為（? ）

A. 2n-1？搖 B. ■■？搖？搖？搖？搖？搖

C. ■■？搖？搖？搖？搖？搖 D. ■

大多數學生做出了以下的錯誤解答：①當n=1時，S1=2a2，則a2=■a1=■;

②當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2an+1-2an，則an+1=■an.

因為數列{an}是以1為首項、■為公比的等比數列，所以Sn=■=2·■■-2.

為了幫助學生尋找錯誤的原因，也讓學生在自主糾錯的過程中理解和掌握運算法則，筆者提出了以下問題.

問題1：當n≥2時，an+1=■an，則數列{an}是等比數列嗎？

問題2：如果條件“an+1=■an”不變，而要使得數列{an}為等比數列，那么項數n必須滿足什么條件？

問題3：如果條件“n≥2”不變，而要使得數列{an}為等比數列，那么該數列的遞推公式應該是什么呢？

問題4：請你歸納出以上解答錯誤的原因.

學生在解答上述問題的過程中便明確了等比數列的遞推公式. 為了讓學生更加深入地理解和掌握“已知數列前n項和求通項”的運算法則，筆者繼續讓學生解決下列問題：

問題5：當n≥2時，an=Sn-Sn-1，把Sn=2an+1代入可得an+1=■an，由于運算法則常可以正、逆兩用，如果把上述運算稱為“正運算”，那么“逆運算”是什么？

問題6：如果已知數列{an}滿足a1=1，■+■+…+■=2■，那么該如何求數列{an}的通項公式？

本教學案例充分展示了如何關注學生的失敗經歷. 當學生的解答出現錯誤時，教師設計了問題串引導學生自主尋找解答錯誤的原因. 由于一次失敗經歷，會讓人刻骨銘心，故學生經歷了自主糾錯的過程，自然會更加深入地理解和掌握運算法則. 這樣的解題課教學往往能夠促進學生數學思維的發展，課堂上常常會有意外生成. 例如：筆者在課堂上還發現了學生的特殊解法：當n=1時，S1=a1=1，沒有辦法排除任何一個選項;當n=2時，S1=2a2，a2=■a1=■，S2=a1+a2=■，排除A、C、D選項，則B選項正確.

■關注解題思維的獲得過程，深入探究運算思路

運算思路是運算操作的路線圖，具有內在的邏輯性，蘊含著豐富的推理過程.數學運算離不開運算思路，沒有事先確定運算思路就猶如無木之本、無源之水，難以入手. 運算思路是解決數學問題的關鍵，是體現數學運算素養的精華.探索不同的運算思路反映著不同的解題思維，解題思維的獲得過程就是對運算思路的探究過程.

在當前的解題教學中，教師關注解題方法應用的多，教學模式單一：介紹解題方法、應用方法解題，所培養出來的大多數學生都無法自主探究運算思路. 因此，只有教師關注解題思維的獲得過程以及解題方法背后的思維邏輯，才能有效培養學生的數學思維能力，從而不斷提升學生自主探究運算思路的能力. 如果教師善于激發學生的創新思維，那么培養出來的學生常常會探究出不一樣的運算思路.

案例3：筆者在上《利用導數研究函數單調性》解題課時，讓學生解答以下試題：

已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，討論f（x）的單調性.

該題源于2016年全國高考文科數學卷Ⅰ第21題，雖然只是第一小題，但該題對學生的解題思維要求比較高.為了讓學生獲得解答該題的思維，筆者先讓學生做一道輔助題：

已知函數f（x）=x2+（2a-1）x-alnx，討論f（x）的單調性.

該輔助題的導函數f′（x）=■，x>0.研究函數f（x）的單調性時，可以先按a≥0和a<0分兩類. 當a<0時，令f′（x）=■=0（x>0），得到導函數f′（x）的兩個零點，再按兩個零點的大小分三類：①a=-■;②a<-■;③-■

學生經歷了解決上述輔助題的解題過程，具備了一定的思維能力，可以采用類似的解題思維來探究上述高考題的解題思路：f′（x）=（x-1）（ex+2a），由于ex>0，所以依然可以先按a≥0和a<0分兩類. 當a<0時，令f′（x）=0，得到導函數f′（x）的兩個零點，再按兩個零點的大小分成三類：①ln（-2a）=1;②ln（-2a）<1;③ln（-2a）>1. 但思維能力比較差的學生依然運算不了. 為了打開學生的思維，讓學生找到便于理解、運算的解題思路，筆者向學生提出了以下幾個問題.

問題1：既然從代數運算研究函數的單調性比較麻煩，那么還可以從哪個方面入手？

問題2：從導函數的圖像，又該如何判斷原函數的單調性呢？

問題3：與導函數f′（x）=（x-1）（ex+2a），x∈R的兩個因式相對應的函數是什么函數，你能否畫出它們的圖像？

問題4：當a≥0時，你能否通過觀察圖像求出函數y=ex+2a的值域？你能否求出f′（x）>0和f′（x）<0的解集？

問題5：當a<0時，如何由函數y=ex的圖像變換得到函數y=ex+2a的圖像？

問題6：觀察下列圖像，你能否求出函數y=ex+2a的零點并比較與1的大小，求出f′（x）>0和f′（x）<0的解集？

在本教學案例中，筆者讓學生挑戰解題思維比較高的2016年高考題.雖然如何引導學生探究該題的運算思路是一個教學難點，但是筆者關注了解題思維的獲得過程，先設計了輔助題讓學生類比，再設計問題串，引導學生探究.這樣的解題課教學讓學生充分體驗了數形結合的解題過程，學生的數學思維也會在經歷探究運算思路的過程中不斷得以發展，教學難點也就自然得以突破.

關注主動優化生成，靈活選擇運算方法

完成運算、得出結果的方法、程序或途徑，通常叫做運算方法或計算方法. 選擇運算方法進行運算的過程是反映、揭示規律的過程，也是演繹推理的過程.而運算過程的繁簡取決于運算方法的優劣，因此靈活選擇運算方法至關重要. 數學運算素養不僅體現在要有很強大的計算能力，更是體現在能夠靈活選擇恰當的運算方法以期實現解題的高效性與最優化.

雖然大多數教師都認可“授之以魚，不如授之以漁”的教學觀點，但是由于教師關注學生被動接受的多，所以在解題教學中依然存在滿堂灌的現象. 所培養出來的大多數學生思維僵化，能夠靈活選擇運算方法進行運算的學生不在多數. 因此，筆者呼吁教師在課堂教學中多給學生留點時間和空間，多關注學生的主動優化生成.在必要的時候還可以點燃一把火，讓枯燥的數學課堂燃燒出激情的火花.

案例4：筆者在上《利用導數研究函數的綜合問題》解題課時，讓學生解答以下試題：

已知函數f（x）=ex-ax+a（其中a為參數），若函數f（x）有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍.

不久，學生便探究出解決該題的方法.

解法1：先對函數求導得f′（x）=ex-a，然后結合f（x）的單調性分析函數的零點問題.當a≤0時，函數f（x）在R單調遞增，此時函數f（x）沒有兩個零點;當a>0時，函數f（x）在（lna，+∞）上單調遞增，在（-∞，lna）上單調遞減. 此時，要使得函數f（x）有兩個不同的零點，則必須f（x）min=f（lna）=2a-alna<0，解得a>e2.

筆者肯定了學生的解答之后，繼續讓學生探究其他的解題方法，特別是避開分類討論思想的方法.

解法2：令函數f（x）為零并分離參數得a=■. 設函數g（x）=■，對函數g（x）進行求導得g′（x）=■，很容易求出函數g（x）在（2，+∞）上單調遞增，在（-∞，2）上單調遞減，則g（x）min=g（2）=e2.要使得函數f（x）有兩個不同的零點，則必須直線y=a與函數y=g（x）有兩個交點，求得a>e2.

顯然采用分離參數的解法2避開了分類討論，選擇此解法也簡化了運算過程，但很可惜的是學生的推理過程不夠嚴密，經過教師的引導學生才發現了問題.盡管當x=1時不滿足題意，但是依然要求嚴密的推理過程.原本教師打算收場，只是習慣性地問一句：還有沒有其他解法？意外的事情果然發生了，數學科代表站了起來并向大家介紹了以下解法.

解法3：令函數f（x）為零并移項整理得ex=a（x-1）. 設函數g（x）=ex，函數g（x）與直線y=a（x-1）的切點為P（x■，ex0）. 由于g′（x）=ex，則ex0=■，解得x0=2. 所以要使得函數f（x）有兩個不同的零點，則必須a>g′（x0），即a>e2.

雖然這節課以筆者要求學生采用不同方法運算下列變式題而結束（變式題：已知函數f（x）=ex-ax+a（其中a為參數），若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍），但是本教學案例讓人感觸許多，印證了：“三人行必有我師”，也讓人更加堅信：關注主動優化生成是至關重要的.

總之，雖然高中學生的數學運算能力好與差受諸多因素的影響，但是可以通過落實數學運算素養來改變學生運算能力差的現狀. 雖然落實數學運算素養的解題教學有諸多教學方法，但是正如同我國教育家葉圣陶所說：“嘗謂教師教各種學科，其最終目的在達到不復需教，而學生能自為研索，自求解決.”只有教師不斷反思和總結教學得失，努力改進和創新教學方法，激發學生自主學習的熱情，才能實現學生自為培養、自求提升數學運算素養的目標.