幾何原本中的勾股定理及其逆定理的現代數學證明

張勝持

摘要：本文對《幾何原本》中歐幾里得關于勾股定理及其逆定理的證明方法運用現代數學的公式進行了詳細證明，簡明扼要，簡單直觀，非常符合于現代人的書寫和閱讀習慣。

關鍵詞：勾股定理;證明;歐幾里得;初等數論。

0引言：勾股定理是一個古老的數學定理，其勾股數計算歷來受到人們的重視。古希臘著名數學家歐幾里得在他所著的《幾何原本》予以了證明，是人類歷史上最早的一種證明方法。但是在這本書中，其證明幾乎是文字敘述性的，現代人閱讀起來非常困難，甚至困惑不解。本人試將這些文字敘述轉換為現代數學公式，然后進行推導證明。其中勾股定理證明是第一卷1.47命題，逆定理是1.48命題。下面分別予以詳細討論。

1?????? 勾股定理證明：1.47命題對勾股定理的描述：在直角三角形中，直角

所對的邊上的正方形的面積等于夾直角兩邊上的正方形面積的和。為了證明這個命題，他還畫了一個圖，如圖1所示，圖中的 R 點是本人為敘述方便所加的，它是位于 BC 和 AL 的交點處。該圖為書中的圖1.47。證明如下所述。

求證：BC2= BA2+ AC2。

證明：在△FBC 和△ABD 中，

∠FBC = ∠FBA + ∠ABC ，

∠ABD = ∠CBD + ∠ABC ，

∵∠FBA = ∠CBD =90°，

∴∠FBC = ∠ABD .

∵FA = AB， BC = BD ，

∴△FBC ≌△ABD （兩條邊及一個角相等）。

即SFBC = SABD （面積相等）。

∵SFBC = SABFG÷2，亦即 SABFG =2SFBC （同底同高三角形的面積等于其上正方形面積的一半【*】）。（因為∠BAC 和∠BAG 同為直角，故 CA 與 AG 在同一條直線上，這樣有 BF∥CG，使三角形同底同高條件成立）。另有 SABD = SBDLR/2，亦即 SBDLR =2SFBC （原因同【*】）。∴SABFG = SBDLR = BA2.

同理在△BCK 和△ACE 中，

∠ACE = ∠BCE + ∠ACB ， ∠BCK = ∠ACK + ∠ACB ，

∵∠BCE = ∠ACK =90°∴∠ACE = ∠BCK .

∵AC = CK， BC = CE ∴△BCK ≌△ACE （兩條邊及一個角相等）。即SBCK = SACE （面積相等）。

∵SBCK = SACKH÷2，亦即SACKH=2SBCK（原因同【*】）。

（因為∠BAC 和∠CAH 同為直角，故 BA 與 AH 在同一條直線上，這樣有CK∥BH，使三角形同底同高條件成立）。

另有SACE = SCELR ÷2，亦即SCELR =2SACE （原因同【*】）。

∴SACKH= SCELR =AC2.

因此SBCED= SBDLR + SCELR =BC2= BA2+ AC2，

即 BC2= BA2+ AC2。證畢。

令 BA = x 、AC = y 、BC = z ，則 x2+ y2= z2;

或令BA = a 、AC = b 、BC = c ，則 a2+ b2= c2。

這兩個公式即為現代勾股定理的代數計算公式。勾股定理的詳細證明過程到此結束。

2?????? 勾股定理逆定理證明：1.48命題對勾股定理逆定理的描述：如果在一個三角形中，一邊上的正方形面積等于這個三角形另外兩邊上正方形的面積之和，則夾在后面兩邊的角是直角。為了證明這個命題，他也畫了一個圖，如圖2所示。該圖為書中的圖1.48。在該圖中，設在△ABC 中，邊BC 上的正方形面積等于邊 BA、BC 上的正方形面積之和（BC2=AB2+AC2），即可證明∠BAC 是直角。證明如下所述。

求證：∠BAC=90°（直角）。

證明：由圖2可知，BA = AD （BD⊥AC，由作圖而來），依勾股定理有：

BC2= AB2+AC2，DC2= DA2+AC2.

∵BA = AD ∴BC2= DC2，

亦即：BC = DC ，

即△ABC ≌△ACD （三條邊相等），故而有∠BAC = ∠DAC （三個對應角分別相等）。

又∵BA 與 AD 同一條直線上， 圖2即∠BAD=180°， 此時有：

∠BAC +∠DAC = ∠BAD ，2∠BAC= ∠BAD =180°，

∴∠BAC =180°÷2=90°，即∠BAC =90°，證畢。勾股定理的逆定理詳細證明過程到此結束。

3?????? 結論

本文用現代數學的方法對《幾何原本》中的勾股定理及其逆定理進行了詳細證明，這里利用了歐幾里得的基本思路，但是使用的是現代數學公式，讓人一看就明白了。

參考文獻：

【古希臘】歐幾里得著，詩翁譯，《幾何原本》，天津人民出版社，2018.