對2017年美國數學奧林匹克壓軸題的再推廣

成克勤 龐耀輝

(甘肅省蘭州市第七十一中學 730084)

一、題目再現及其推廣

原題對滿足a+b+c+d=4的非負實數a,b,c,d，

文獻[1]給出上述問題的幾個推廣.

最后，給出更具一般性的命題及其證明.

命題如果非負實數a,b,c,d滿足a+b+c+d=2nk,其中n為任意給定的正整數，k為任意給定的正實數，那么

二、聯想再探究

上述結論是涉及四個非負實數的不等式，那么聯想到：n個非負實數a1,a2,…,an(n≥4)之間是否存在相應的不等式呢？經探究得到如下結論.

定理如果非負實數a1,a1,…,an(n≥4)滿足a1+a1+…+an=2mk, 其中m為任意給定的正整數,k為任意給定的正實數，

那么

下面我們先證明如下引理.

引理1若a1,a1,…,an≥0(n∈N,n≥4)，則4(a1a2+a2a3+…+ana1)≤(a1+a2+…+an)2.

證明設f(a1,a2,…,an)=4(a1a2+a2a3+…+ana1)-(a1+a2+…+an)2，

下面用數學歸納法證明f(a1,a2,…,an) ≤0.

當n=4時，f(a1,a2,…,an) ≤0

等價于4(a1+a3)(a2+a4)≤(a1+a2+a3+a4)2，由均值不等式知，命題成立.

假設當n=k(k≥4)時命題成立，

則當n=k+1時，不妨設ak=min{a1,a2,…,ak,ak+1},

于是有

f(a1,a2,…,ak+1)-f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1)

=4[ak-1ak+akak+1+a1ak+1-ak-1(ak+ak+1)-(ak+ak+1)a1]

=-4[(ak-1-ak)ak+1+a1ak] ≤0,

故f(a1,a2,…,ak+1) ≤f(a1,a2,…ak-1,ak+ak+1) .

由歸納假設知

f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1) ≤0，

則f(a1,a2,…,ak+1)≤0,

故當n=k+1時結論也成立.引理證畢.

引理2[1]對任意x≥0，都有xm+1-(m+1)kxm+mmkm+1≥0，當且僅當x=mk時等號成立(其中m為正整數，k為正實數).

根據引理2及x≥0可知，不等式x[xm+1-(m+1)kxm+mmkm+1]≥0成立，當且僅當x=0或x=mk時等號成立.

上述不等式等價于

(m+1)mmkm+2≥-(xm+1+mmkm+1)[x-(m+1)k],

從而有

其中當且僅當

a1=a2=mk,a3=a4=…=an時等號成立.

三、應用

根據這個定理，我們可以獲得一些有趣的題目的解答或不等式.

設整數n>3，非負實數a1,a2,…,an

滿足a1+a2+…+an=2，