高考新動向 巧用分析法

束峰琛

(江蘇省新沂市第一中學 221400)

當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往可以考慮采用分析法來處理，特別是一些含有根號、絕對值的等式或不等式等問題的證明時，常考慮用分析法，其思路是逆向思維，必須從結論出發，倒著分析，尋找結論成立的充分條件．結合近年的高考真題，分析法的應用往往出現在不等式、解析幾何以及函數與導數的相關證明中，要加以重視．

一、不等式的證明

分析從待證的不等式不易發現證明的出發點，通過通分處理，結合條件加以變形，進而移項和配方，轉化為平方和的關系式，分析其成立的充分條件即可證明相應的不等式成立．

證明因為a，b，c為正數，且滿足abc=1，

只需證a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0，

即證(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0，

由于a，b，c為正數，而(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0顯然成立，

點評利用分析法證明不等式成立問題時，其分析的關鍵就是對所要證明的不等式加以等價轉化，依據不等式的基本性質、已知的重要不等式等相關知識，綜合通分、移項、配方等方法通過邏輯推理的基本理論來證明對應的不等式．

二、解析幾何的證明

例2(2018年高考數學全國卷Ⅰ文科第20題(2))設拋物線C：y2=2x，點A(2，0)，B(-2，0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點．證明：∠ABM=∠ABN．

分析設出直線l的方程，與拋物線聯立，轉化為關于y的二次方程，結合根與系數的關系得到相應的關系式，利用平面幾何方法進行分析法證明，根據∠ABM=∠ABN的等價條件Rt△BFN∽Rt△BEM的轉化，利用相應邊的比值的關系式的建立與轉化，進行逆推分析，從而得以證明結論．

證明根據題意可設直線l：x=my+2(m∈R)，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，不失一般性，設y1>0，y2<0，

消去參數x并整理可得y2-2my-4=0，

點評利用分析法證明解析幾何中的相關問題，關鍵是轉化為平面幾何問題，抓住幾何證明的脈絡，利用平面幾何的相關性質有條理地等價轉化，同時又要充分融合解析幾何的相關內容，從而達到轉化與證明的目的．

三、函數與導數的證明

分析結合條件所要證明的不等式，通過分析法處理，分別借助ex≥ex的證明與應用，以及x-lnx-1≥0的證明來合理轉化，從而得以分析法解決，巧妙證明．

構造g(x)=ex-ex，求導可得g′(x)=ex-e，則當01時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；

所以x=1是g(x)的最小值點，且最小值為g(1)=0，所以ex≥ex成立．

當x>1時，h′(x)>0，h(x)單調遞增，

所以x=1是h(x)的最小值點，且最小值為h(1)=0，所以x-lnx-1≥0成立．

點評涉及函數與導數的相關證明問題，在近年的高考中經常出現，借助分析法的應用，可以有效抓住結論，利用結論的合理轉化與條件的聯系，有效串聯，也是破解此類問題的思維過程中比較常見的證明方法．

分析法的實質是從要證明的結論出發，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件(可明顯成立的不等式(等式)、已知不等式(等式)、定義、定理或公理等)．應用分析法證明問題時要嚴格按分析法的語言表達，要有較強的邏輯推理能力，證明過程中必須有必要的文字說明，同時下一步是上一步的充分條件，其每一步的推導過程都必須可逆．