幾道2020年導數試題的新解法

劉士香 劉才華

(1.山東省泰安市寧陽第一小學 271400；2.山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

例1(2020全國卷1文科20題)已知函數f(x)=ex-a(x+2).

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

解(1)f(x)在(-,0)上單調遞減，在(0,+)上單調遞增(過程從略).

當x∈(-,-1)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；當x∈(-1,+)時，g(x)單調遞減，于是gmax(x)=g(-1)=e.又從而f(x)有兩個零點的充要條件為則的取值范圍為).

例2(2020年全國卷1理科21題)已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

解(1)f(x)在(-,0)上單調遞減，在(0,+)上單調遞增(過程從略).

設h(x)=x2+2x+2-2ex(x>0)，則h′(x)=2(x+1-ex).由熟悉的不等式ex≥x+1得h′(x)<0，所以h(x)在(0,+)上單調遞減，則h(x)0，g(x)單調遞增；當x∈(2,+)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，從而

例3(2020年全國2卷理科21題)已知函數f(x)=sin2xsin2x.

(1)討論f(x)在區間(0,π)的單調性；

解(1)由f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx得

解法2由f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx

得|f(x)|=2|sinx||sinx||sinx||cosx|.

將上述n個式子相乘得

由|sinxsin22nx|≤1得

|sin3xsin32xsin34xsin32n-1xsin32nx|

(1)求b；

(2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

綜上，結論得證.

例5(2020年高考山東卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

(2)由題意知x>0且a>0.

當a≥1時，設F(a)=aex-1-lnx+lna，則F(a)在a∈[1,+)上單調遞增，則由熟悉的不等式ex≥x+1和lnx≤x-1得F(a)≥F(1)=ex-1-lnx≥x-lnx≥1，即當a≥1時，有f(x)≥1；

當0

綜上知a的取值范圍為a≥1.