一道新高考壓軸題引發的思考
——立體幾何中的軌跡問題

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

一、定義法

利用圓錐曲線的定義解題.

圖1

例1 如圖，已知動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的側面ADD1A1及其邊界上運動，若該動點P到棱A1D1與CD的距離相等，則動點P的軌跡是( ).

A．一條線段 B．一段圓弧

C．一段拋物線弧 D．一段橢圓弧

分析依題意，先把空間中“動點P到線A1D1與CD的距離相等”轉化為平面內“動點P到棱A1D1與到點D的距離相等”，再根據拋物線的定義，即可得出結論．

解答∵動點P到棱A1D1與CD的距離相等，P到CD的距離為PD，∴動點P到線A1D1與到點D的距離相等.

∴動點P的軌跡是以點D為焦點，A1D1為準線的拋物線.

又∵動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的側面ADD1A1及其邊界上運動，∴動點P的軌跡是一段拋物線.故選C．

點評本題考查立體幾何中的軌跡問題的解法，考查空間中點到直線的距離，正確運用拋物線的定義是解題的關鍵，屬基礎題．

例2 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是正方體棱上的一點(不包括棱的端點)，若滿足|PA|+|PC1|=m的點P的個數為6，則m的取值范圍是____.

圖2

∵正方體有12條棱，點P的個數為6，∴這些橢圓與棱AB、AD、AA1、C1C、C1B1、C1D1各有一個交點，與其余6條棱無交點.

點評本題以正方體為載體，考查橢圓的定義和性質，直線與橢圓相交的條件，考查邏輯推理能力和空間想象能力等.正確運用橢圓的定義是解題的關鍵，綜合性較強，屬中檔題．

二、定理法

利用軌跡的基本定理解題.

例3 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，A1B1的中點．點P在該正方體的表面上運動，則總能使MP與BN垂直的點P所構成的軌跡的周長等于( ).

分析我們知道，“過已知點且垂直于已知直線的動直線的軌跡是過已知點且與已知直線垂直的平面”.根據題意，動線段MP的軌跡是正方體過點M且垂直于BN的截面，動點P的軌跡是截面與正方體的交線(不含點M)，畫出交線，問題可解．

圖3

解答如圖，取CC1的中點G，連接DG、GM、MA，則MG∥BC.

∵BC⊥平面ABB1A1，∴MG⊥平面ABB1A1.

∵BN?平面ABA1B1，∴BN⊥MG.

∵四邊形ABB1A1是正方形，M，N分別是BB1，A1B1的中點，∴BN⊥AM.

又∵MG∩AM=M，∴BN⊥平面ADGM.

∴使MP與BN垂直的點P所構成的軌跡為矩形ADGM(不含點M).

點評本題主要考查正方體的結構特征，考查空間軌跡的基本定理，考查推理能力和空間想象能力等.確定動線段MP的軌跡是解題的關鍵，屬于中檔題．

圖4

解答依題意，動點P的軌跡是以A為球心，PA=x為半徑的球面與正方體表面的交線．

點評本題主要考查正方體的結構特征，考查球的截面的性質，考查函數圖象的識別和判斷.應用“到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為球心，定長為半徑的球面”，確定點P的軌跡是解題的關鍵.綜合性強，屬于中檔題.

三、截面法

利用圓柱或圓錐的截面的性質解題.

例5 如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是( )

A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線

圖5

分析由△ABP的面積是定值，可得動點P到直線AB的距離也是定值，從而動點P的軌跡是以AB為軸的圓柱面與平面α的交線，根據圓柱的軸與平面α的位置關系可得答案．

解答∵△ABP的面積為定值，底邊AB的長一定，∴動點P到直線AB的距離為定值，∴點P在以AB為軸的圓柱的側面上.

∵點P也在平面α內，∴點P在以AB為軸的圓柱側面與平面α的交線上.

∵平面α與圓柱的軸AB斜交，∴點P的軌跡為橢圓.故選B．

點評本題考查立體幾何中軌跡問題的解法，考查空間線面之間的位置關系等.利用圓柱的截面的性質是解決本題的關鍵，注意圓柱的軸與截面所成的角不同時，得到的截面形狀也不同．屬基礎題.

四、坐標法

建立直角坐標系解題.

例6 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點P是平面AC內的動點，若點P到直線A1D1的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡是( ).

A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.直線

圖6

分析因為點P是平面AC內的動點，在平面AC內建立直角坐標系，求出點P滿足的方程，即可知道動點P的軌跡.

解答建立平面直角坐標系如圖，作PE⊥AD于E、EF⊥AD交A1D1于F，連結PF.則PE⊥EF，PF是點P到直線A1D1的距離.

設P(x,y)，則 |PF|2=|PE|2+|EF|2=x2+1.

作PN⊥CD于N，則|PN|=|1-y|.

故動點P的軌跡為雙曲線，選B.

點評本題將立體幾何中的動點與解析幾何中的圓錐曲線巧妙地整合在一起，相互交匯和滲透，有利于考查學生運用多學科知識解決問題的能力，綜合性較強，屬中檔題.

五、向量法

利用向量的性質解題

例7 與正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點( ).

A．有且只有1個 B．有且只有2個

C．有且只有3個 D．有無數個

分析顯然點D、B1滿足題設要求，猜想B1D上任一點都滿足要求，并證明之．

圖7

∴B1D上任一點到這個正方體的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離都相等．故選D．

點評本題主要考查正方體的結構特征，考查空間中點到直線的距離的求法，考查合情推理的能力和綜合運用多學科知識解決問題的能力.綜合性較強，屬中檔題.

掌握了上述五種方法，就不難解答本文開頭引入的高考真題了，你能用幾種方法解答這道題呢？

從上述實例可以看出，解答立體幾何中的軌跡問題關鍵要抓住兩個轉化：一是空間問題平面化；二是幾何問題代數化.根據題型特點，選擇合適的方法，再利用平面幾何、解析幾何和空間向量等知識來實現問題的順利解決.