2020年高考江蘇卷第12題的七種解法

蔡海濤 盧 妮

(福建省莆田第二中學 351131)

題目(2020年高考江蘇卷12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是____．

點評利用消元轉換消去x，把x2+y2化為只含有y一個變量的式子，再利用基本不等式求得求值.多元變量求最值問題利用消元轉化是常規套路，利用基本不等式要注意“一定、二正、三等號”.

解法3 同解法2把問題轉化為求a+b的最小值.

點評解法2基本思路同解法1，均是先利用消元轉化再利用基本不等式求得最值，區別之處是發現已知和要求的式子次數較高，先利用換元進行降冪，使得運算簡化.解法3關鍵是注意到5ab+b2為定值，故進行配湊再利用基本不等式得到一個關于a+b的不等關系，從而求得a+b的范圍.

點評首先把a+b看作一個整體t，再得到關于b的一元二次方程，利用判別式求得t的范圍.

點評考慮將式子a2+(2-5λ)ab+(1-λ)b2配成一個完全平方式，故令Δ=(2-5λ)2-4(1-λ)=0，求得λ的值，進而得到(a+b)2的不等關系，求得范圍.

解法6 同解法2，5ab+b2=1，則(5a+1)b=1(a,b≥0).

點評雙變量問題常常可以通過確定主元,看成一個函數關系來進行處理.

多元變量最值問題在近年各地高考中頻頻出現，其特殊的解析式結構決定其具有知識覆蓋面廣、綜合性強、解題方法靈活多樣的特點.通過以上高考題的多解分析,可總結方法一般是從數和形兩個角度著手進行研究.從數的角度出發，常常是利用函數方程思想，進行消元轉化，結合換元簡化，再利用基本不等式求得范圍；從形的角度出發,常常是發現多元變量之間的關系，具有怎樣的幾何意義，再利用幾何特征判斷取得最值的位置，最后求得范圍.