例析立體幾何特殊問題 培養學生核心素養

魏敬波 張曉帆

(河北省趙縣中學 051530)

高中數學有關立體幾何題目除常規的證明平行、垂直，求角、求距離、求面積、求體積等外，還有幾類特殊問題經常出現在各類模擬題或高考題中，這些特殊問題對于培養和發展學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養有著獨到的地位，現歸納整理以饗讀者.

一、與球有關的組合體問題

球是一個非常完美的幾何體，人們常常將它與一些簡單的幾何體如柱、錐、臺等，通過內切或外接的方式組合成新的幾何體，使其能夠更加深入地考查空間幾何關系與度量計算.一般的幾何體與球切、接問題的求解方法是把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系.

例1直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=60°，則此球的表面積等于____.若改為∠BAC=90°，其它條件不變，如何求？

圖1 圖2

例2若底面為等邊三角形，側面均為矩形的三棱柱的各面均與半徑為r的球相切，求此棱柱的體積.

點評(1)涉及球與棱柱、棱錐等多面體的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線做截面；球與旋轉體的切、接問題可以通過作它們的軸截面解題，把空間問題轉化為平面問題求解.(2) 與球有關的組合體問題，通過幾何體的直觀圖或截面圖，確定球心的位置或通過補形法(補形為三棱柱，長方體，正方體等)，再找到球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.(3)與球有關的組合體問題意在提高學生的推理論證能力和空間想象能力，提升其邏輯推理和直觀想象等核心素養.

二、最值問題

最值問題是高中數學中的一個重要內容，幾乎滲透到每一章，是高考熱點之一，在歷年高考中多次出現.立體幾何中的典型最值問題同樣要引起我們的注意.

1.借助側面展開，化曲為直

解決多面體(旋轉體)不同面的表面上兩點間的最短距離問題，往往把立體圖形展成平面圖形，這是解決立體幾何問題最常用方法，然后利用平面上兩點間的所有連線中直線段為最短的方法找到所求距離，再通過構造三角形來求最值.

例3已知長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0，現有一只螞蟻從A點出發沿長方體表面爬行至C1點，求它的最短行程是多少.

解將長方體相鄰兩個面展平有下列三種可能，如圖3所示.

三個圖形中AC1的長分別為

圖3

2.轉化為函數，利用性質或公式.

圖4

C.2 D.3

因此體積V取最大值時h=2.故選C.

當且僅當24-2a2=a2時取等號，即a2=8，此時SO=2.故選C.

點評將棱錐體積表示為單變量函數是利用函數性質解題的關鍵，再根據函數類型尋求相應的方法去求最值.這一過程中導數在研究函數性質中的應用以及基本不等式等相關知識得到夯實，推理論證能力得以提高，邏輯推理素養、數學抽象素養和運算素養得到發展.

三、軌跡問題

在知識的交匯處命題是高考的一個常見題型，以空間圖形為載體求軌跡問題無疑是立體幾何與解析幾何的一個絕妙結合，它不僅要求學生對立體幾何和解析幾何有關知識了然于胸，而且要求學生思維敏捷，靈活多變.

例5P是正方體ABCD-A1B1C1D1側面BB1C1C內一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是( ).

A.橢圓 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

解如圖5，由正方體可知P到直線C1D1的距離即P到C1的距離，所以在平面BB1C1C內P到定點C1的距離與P到定直線BC的距離相等，由拋物線定義知動點P的軌跡所在的曲線是拋物線，故選D.

圖5 圖6

例6定點A和B都在平面α內，定點P?α，PB⊥α，C是α內異于A和B的動點，且PC⊥AC，那么動點C在平面α內的軌跡是( ).

A.一條線段，但要去掉兩個點

B.一個圓，但要去掉兩個點

C.一個橢圓，但要去掉兩個點

D.半圓，但要去掉兩個點

解如圖6，連接BC，因為PB⊥α，所以PB⊥AC.又PC⊥AC，由線面垂直的判定定理得AC⊥平面PBC，從而AC⊥BC.又C是α內異于A和B的動點，所以動點C在平面α內的軌跡是以AB為直徑的圓但要去掉A和B兩點，故選B.

點評此類問題設計匠心獨具，形式新穎，很好地將立體幾何知識與解析幾何中拋物線、圓等曲線的定義結合在一起，考查學生從新背景去發現問題、解決問題的能力，是在知識交匯處命題、提升學生直觀想象和數學抽象等素養的很好范例.

四、探索性問題

以已知結論尋求成立的條件或判斷是否存在等類型的探索性問題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探究能力，屬中高檔問題.探索性問題能有效地檢測考生的創新能力、直覺思維能力，也是高考十分關注的一種命題方式.

對于探索性問題，常常是先假設存在，然后在這個前提下進行邏輯推理.若由此導出矛盾，則假設不成立，否則給出肯定結論.

例7(2014年湖北高考)如圖8，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP=BQ=λ(0<λ<2).

圖8 圖9

(1)當λ=1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ；

(2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

點評(1) 向量本身就是利用代數法研究幾何問題，所以空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷.降低了對空間想象能力的要求，提高解題效率.

(2)解題時，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”等，使問題的解決更簡單、有效.

(3)建立空間直角坐標系，利用向量解決問題的過程是培養學生邏輯推理能力、運算求解能力的過程，對于提升學生邏輯推理、數學運算等素養大有裨益.