對一道經典競賽題的商榷

邵 韜

(浙江省寧波市鄞州中學 315100)

一、對一道競賽題的質疑

在高中物理磁場這一章，有這樣一道競賽題：

如圖1所示，質量為m，帶電量為q的正點電荷在水平面上運動，受到的阻力f=-kv.有一寬度為d的帶狀區域內存在方向垂直于水平面向里，大小為B的勻強磁場.問質點要穿過MN區域，初速度v0至少要多大，方向θ0如何？

當前的解析是由動力學方程出發，寫出動量微分關系

在x方向上：-qvyB-kvx=max?-qΔyB-kΔx=mΔvx

在y方向上：qvxB-kvy=may?qΔxB-kΔy=mΔvy

考慮到剛好穿過MN區域時速度為零，對上式求和并代入始末條件

在x方向上： -qBd-kx=0-mv0cosθ0

在y方向上：qBx-kd=0-mv0sinθ0

筆者認為解析中對穿出磁場時速度為零的假設存疑.恰好穿出磁場時速度的豎直分量為零，水平分量一定為零嗎？

二、對粒子運動軌跡的研究

考慮到阻力始終與速度方向共線，洛倫茲力始終垂直于速度方向，建立自然坐標系.設t時刻粒子的速度為v，如圖2.

角速度恒定，可設t時刻速度方向與x軸正方向的夾角為θ=ωt+θ0

粒子在xy方向上均做欠阻尼振動，速度不可能同時為零，僅在t→∞時，速度v→0，靜止于某一點Q

由分部積分法可推導積分公式

得位移在直角坐標系中的分量

三、對習題的釋疑

現在來解答本題，粒子剛好出磁場時vy=0，且第一次到達最高點，則ωt1+θ0=π

代入時刻t1，滿足關系

本式表明，粒子恰好能出磁場時，不同的入射方向θ0時所對于的初速度v0不同.仍然設定參數ω=1rad/s，k=0.1kg·s-1，m=1kg，并取d=1m，通過matlab軟件繪制θ0-v0圖，如圖4.由圖得當v0min=0.579m/s，此時θ0=0.180rad.題目的設計者本身是想考察物理學習者對臨界思想在動量微分關系上應用技巧，但未考慮粒子運動的復雜性，因此本題只能從動力學方程入手求解.