高中立體幾何多面體外接球類問(wèn)題探究

孫 甲

(四川省成都市龍泉中學(xué) 610100)

目前普遍認(rèn)為這類題順應(yīng)了新課程改革中從注重知識(shí)技能的考查向注重思維、空間想象能力考查的要求.但這類題對(duì)目前的高中學(xué)生來(lái)講存在不小的難度.原因是：1.新課標(biāo)人教版A高中教材對(duì)球體部分內(nèi)容進(jìn)行了刪減，只保留了球的表面積公式和體積公式，自主探究中則根據(jù)祖暅原理給出了球體體積公式的推導(dǎo)(半球內(nèi)剔除同底等高圓錐).但關(guān)于球體的一些具體性質(zhì)卻沒(méi)有在書中作為性質(zhì)給出.雖然推理與證明部分有:根據(jù)合情推理中的類比推理，結(jié)合圓的性質(zhì)推導(dǎo)球的性質(zhì)的敘述. 但顯然知識(shí)學(xué)習(xí)的要求大大降低了.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)在這種知識(shí)前提下探討多面體外接球問(wèn)題無(wú)疑是有難度的.下面探究這類問(wèn)題的求解策略.

一、補(bǔ)體法

例1 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為：1，2，3，則此三棱錐外接球的表面積為_(kāi)___.

分析共點(diǎn)的三條線兩兩垂直，讓我們想到了長(zhǎng)方體的一個(gè)角.據(jù)此我們把此三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體.如圖1,則三棱錐A′-AB′D′的外接球和長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的外接球相同，因此原問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題，大大降低了題目的難度.

圖1

=14π.

變式在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.若AB=2,BC=3,PA=4，求該三棱錐外接球的表面積.

圖2

分析如圖2,我們不難得出三條棱PA、AB、BC兩兩垂直，我們可以以這三條線作為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高構(gòu)造長(zhǎng)方體.進(jìn)而將三棱錐外接球問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題.

小結(jié)例題1的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是幾何體中存在三條兩兩垂直的棱，我們可以嘗試?yán)眠@三條棱作為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高構(gòu)造具有相同外接球的長(zhǎng)方體進(jìn)而求解.

圖3

分析如圖3，我們發(fā)現(xiàn)三棱錐A-BCD不具備有三根兩兩垂直的棱這一性質(zhì)，但以其各棱作為正方體的面對(duì)角線，則也可以補(bǔ)成擁有相同外接球的正方體求解.

解析如圖3，將三棱錐補(bǔ)成正方體，易知正方體的棱長(zhǎng)為1，則有

圖4

分析如圖4，我們發(fā)現(xiàn)三棱錐A-BCD具有三組對(duì)邊分別相等的結(jié)構(gòu)特征，我們可以將三棱錐六條棱作為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，進(jìn)而補(bǔ)成擁有相同外接球的長(zhǎng)方體后求解.

解析設(shè)長(zhǎng)方體共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c，則有

小結(jié)例題2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是三棱錐的三組對(duì)棱分別相等，我們可以嘗試將三棱錐的棱作為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，構(gòu)造具有相同外接球的長(zhǎng)方體后求解.

二、外心垂線法

圖5

分析三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在外接球的球面上，因此四個(gè)頂點(diǎn)到外接球的球心距離相等(外接球的半徑R).根據(jù)這個(gè)原則，我們只要確定了外接球球心所在的位置，問(wèn)題就迎刃而解了.

解析設(shè)△ABC的外心為M，過(guò)M作△ABC所在平面的垂線，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，該垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則外接球的球心在直線MP上.設(shè)外接球的球心為O，OM=h.

根據(jù)多面體外接球的性質(zhì)可知：OA=OP,

圖6

小結(jié)：外心垂線法的具體步驟和依據(jù)如下：

1.首先任意確定三棱錐一個(gè)面的外心M；

2.過(guò)該外心M作所在平面的垂線(平面圖形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等.結(jié)合三角形全等可知：所有到該平面圖形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在經(jīng)過(guò)外心且垂直于該平面的垂線上)，根據(jù)多面體外接球的定義可知，外接球的球心必在此垂線上，設(shè)外接球的球心為O；

3.根據(jù)外接球球心到各頂點(diǎn)距離相等這個(gè)性質(zhì)，列方程，解方程確定外接球球心的位置；

4.求出外接球的半徑.