幾類特殊的多面體的外接球問題

沈清臣

(湖南省長沙市長郡中學 410000)

空間幾何體與球的組合問題是近幾年高考中的一個頻考點，且考查形式靈活多樣；要正確求解此類問題，學生必須通過讀、想、畫、轉、算五個基本環節，找準熟悉的基本幾何模型及相應的求解策略.

此類問題可劃分為旋轉體、多面體的內切、外接球問題；而旋轉體的內切、外接球問題，通過軸截面可轉化為平面幾何問題求解；多面體的內切球問題，利用等體法可直接求解.因此，本文主要介紹多面體(棱柱、棱錐)的外接球問題，在此之前，我們先熟悉空間球體的截面性質及其應用.

一、球的截面性質及其應用

如圖1，空間球體有如下性質：

(1)用一個平面去截球，所得截面是一個圓面；

(2)球心與截面圓心的連線與截面垂直，且滿足：R2=r2+d2(其中R表示球的半徑，r表示截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離).

圖1 圖2

上例的求解過程，充分利用球體的截面性質，即球心與截面圓圓心的連線與截面垂直，使得求解難度大大降低.類似的問題還在高考試題中曾多次出現，如2013年新課標Ⅰ(理)第6題、2013年新課標Ⅰ卷(文)第15題、2013年大綱卷(文)第16題、2013年大綱卷(理)第16題等.其實，更多幾何體的外接球問題的求解均需要利用到球體的截面性質，在后面的問題中將作介紹.

二、棱柱的外接球問題

此處我們主要介紹直棱柱(側棱垂直于底面)的外接球問題.因為正方體、長方體的外接球直徑即為體對角線，因此遇到直棱柱的外接球問題，首先可以考慮將該直棱柱補體為長方體或正方體；若不能補體，再考慮利用球體的截面性質確定球心位置，再由勾股定理求解.

圖3

如圖3，設直三棱柱ABC-A1B1C1上、下底面的外接圓圓心分別為H1、H，連接H、H1，則易知HH1的中點O即為該棱柱外接球的球心，AH即為底面外接圓的半徑，AO即為球的半徑R.利用平面幾何知識求出AH，再結合球的截面性質可直接求解.

例2(2013年遼寧文、理第10題)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為( ).

直接考查正方體、長方體的外接球問題，在高考試題中曾多次出現，如2013年天津文第10題、2014年陜西理第5題、2016全國Ⅱ文第4題、2017年天津文、理第10題、2017年全國Ⅱ文第15題等，此類問題難度不大.

補體的策略在后面的錐體的外接球問題中將進一步詳細介紹.

三、棱錐的外接球問題

球與錐體的組合問題，在高考真題及各地的模擬試題中出現頻率最高，試題形式多樣，靈活多變.類似于柱體的求解策略，我們首先考慮補體，再者利用截面性質確定球心，進而可得解.下面將按四種類型進行詳細闡述.

1.有條側棱垂直于底面的棱錐

若棱錐的一條側棱垂直于底，則補體為直棱柱求解，如圖4，三棱錐S-ABC中，側棱SA⊥底面ABC，則可補體成直棱柱SQP-ABC(如圖5)，即轉化為直棱柱的外接球問題.

圖4 圖5

例3(2019年全國Ⅰ理第10題)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

圖6 圖7

在三棱錐中，若共頂點的三條棱兩兩垂直，則將棱錐補體為正方體或長方體，可迅速求解.類似問題再如，2012年遼寧文理第16題.

2.對棱相等的錐體

正方體或長方體中，相對面的對角線相等，因此當三棱錐的對棱相等的時候，可以將該三棱錐放于正方體或長方體內，即補體為正方體或長方體.

圖8

∴球的半徑R滿足4R2=a2+b2+c2=7，故表面積為S=4πR2=7π.

本例也可以取AB或CD的中點，作出截面，根據幾何體的對稱特征，確定球心的位置，利用球的截面性質列出方程組求解.但兩種解法對比，可體現上述解法的簡便快捷.特別是準確熟悉正四面體與正方體之間的聯系，可快速解決正四面體的外接球問題，比如下面的例題.

3.正棱錐(底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面的中心)

圖9

例5(2014年大綱文第10題、理第8題)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為( ).

圖10

上述例題的求解過程，還是利用球體的截面性質.前述例3(2019年全國Ⅰ理第10題)亦可利用上述方法求解.

4.有兩個面垂直的棱錐

如圖11，已知球O1、O2的兩個截面圓所在平面垂直，則四邊形OO1HO2為矩形，且△OAO1，△OBO2均為Rt△，AO=BO=R.利用勾股定理結合已知條件列出方程組，即可求解.

圖11 圖12

設△BCD，△ACD的外接圓圓心分別為E、H，四面體A-BCD的外接球球心為O，則OE⊥平面BCD，OH⊥平面ACD，OEFH為矩形，∴OE=HF，OH=EF.

連接AO、BO，并設外接球半徑為R，OE=HF=x，則分別在Rt△BOE，Rt△AOH中可得：

上述例題的求解過程，還是利用球的截面性質(過截面圓圓心且與截面垂直的直線一定過球心)，通過兩個截面來確定球心的位置，再利用勾股定理求解.

其實，一般情況下，并要求兩個截面圓所在平面垂直.如下例：

例7(2020年廣州市一模文 第12題)在三棱錐A-BCD中，△ABD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角A-BD-C的平面角為120°，則此三棱錐的外接球的表面為( ).

圖13

以上內容是對常見的棱柱、棱錐的幾類外接球問題及其求解策略的歸納.因為題型可以靈活多變，問題的求解途徑多種多樣，以上肯定有闡述不全面不到位的地方，期盼讀者去補充完善.