橫看成嶺側(cè)成峰
——從不同的角度截長(zhǎng)方體的外接球

蘇麗娟

(山東省寧陽(yáng)縣第一中學(xué) 271400)

命題設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球?yàn)榍騉，球O的直徑為d，AB=a,AD=b,AA1=c，，則易知a2+b2+c2=d2，即長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的棱長(zhǎng)的平方和等于外接球直徑的平方.

現(xiàn)在我們從長(zhǎng)方體上截取以下幾何體，結(jié)論依然成立.

圖1 圖2

截法一用平面BD1截長(zhǎng)方體，得到三棱柱ABD-A1B1D1，則三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球上，等式a2+b2+c2=d2仍然成立.即三棱柱中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)三條兩兩垂直的棱的棱長(zhǎng)平方和等于外接球直徑的平方.

截法二用平面A1BC、平面A1CD截長(zhǎng)方體，得到四棱錐A1-ABCD，它的五個(gè)頂點(diǎn)均在外接球上，側(cè)棱垂直于底面，底面為長(zhǎng)方形，等式a2+b2+c2=d2仍然成立.即四棱錐中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)三條兩兩垂直的棱的棱長(zhǎng)平方和等于外接球直徑的平方.

圖3 圖4

截法三用平面A1BD截長(zhǎng)方體，得到三棱錐A1-ABD，它的四個(gè)頂點(diǎn)均在球上，等式a2+b2+c2=d2仍然成立.即三棱錐中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)三條兩兩垂直的棱的棱長(zhǎng)平方和等于外接球直徑的平方.

結(jié)論從球上一點(diǎn)出發(fā)的任意三條兩兩垂直的弦，其平方之和等于球直徑的平方.

鏈接高考半徑為2的球面上有ABCD四點(diǎn)，且AB、AC、AD兩兩垂直，則△ABC、△ACD與△ADB面積之和的最大值為_(kāi)___.

(2019年山東省高考模考16題)

解析設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c，△ABC、△ACD與△ADB面積之和為S，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”，所以面積之和的最大值是8.

數(shù)學(xué)就在我們身邊，只要我們多思考，深挖掘，一定會(huì)有意想不到的收獲.